[論文レビュー] Polysymplectic spaces, s-Kahler manifolds and lagrangian fibrations

Michele Grassi|ArXiv.org|Jun 21, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複数の独立変数をもつ偏微分方程式（PDE）の幾何学的解析を目的として、シンプレクティックおよびケーラー幾何の一般化として、多シンプレクティック多様体とs-ケーラー多様体を導入する。PDEに対して自然な一般化されたルジャンドル変換およびハミルトニアン形式を確立し、特にカルラヤ多様体の半平坦な特別ラグランジュ被覆を介して、s-ケーラー多様体が一般化されたホッジ理論およびリーマン型作用素を備えた豊かな幾何的モデルを提供することを示す。

ABSTRACT

In the first part of this paper we begin the study of polysymplectic manifolds, and of their relationship with PDE's. This notion provides a generalization of symplectic manifolds which is very well suited for the geometric study of PDE's with values in a smooth manifold. Some of the standard tools of analytical mechanics, such as the Legendre transformation and Hamilton's equations, are shown to generalize to this new setting. There is a strong link with lagrangian fibrations, which can be used to build polysymplectic manifolds. We then provide the definition and some basic properties of s-Kahler and almost s-Kahler manifolds. These are a generalization of the usual notion of Kahler and almost Kahler manifold, and they reduce to them for s=1. The basic properties of Kahler manifolds, and their Hodge theory, can be generalized to s-Kahler manifolds, with some modifications. The most interesting examples come from semi-flat special lagrangian fibrations of Calabi-Yau manifolds.

研究の動機と目的

• s個の独立変数をもつPDEのための幾何的枠組みを、多シンプレクティック構造を用いて構築すること。
• 古典的解析力学の道具（ルジャンドル変換およびハミルトンの運動方程式など）を多シンプレクティック設定に一般化すること。
• s-ケーラーおよびほぼs-ケーラー多様体を、ケーラー幾何の高ランク一般化として定義し、それらを研究すること。
• 半平坦な特別ラグランジュ被覆がs-ケーラー多様体の構成およびそのコホモロジー的性質に果たす役割を調査すること。
• 古典的ホッジ理論的およびリーマン型定理をs-ケーラー設定に拡張すること、特にコホモロジー上での$\mathbf{sl}(s+1,\mathbf{R})$作用を含む。

提案手法

• s個の閉2形式$\omega_1, \dots, \omega_s$を用いて多シンプレクティック多様体を定義し、局所的に$\sum_i dx_i \wedge dy^j_i$の形にモデル化する。
• $^sT^*(M)$（s重ファイバー積）に自然な多シンプレクティック構造を構成し、古典的力学における余接 bundle の一般化とする。
• 多シンプレクティック多様体上にs-ポisson構造を導入し、s個の互換性を持つブラケットへのポアソン括弧の一般化を実現する。
• s-ケーラー多様体を、s個の2形式$\omega_j$とリーマン計量$\mathbf{g}$を備えた多様体として定義し、局所座標で$\omega_j = \sum_i dx_i \wedge dy^j_i$および$\mathbf{g}_{\alpha\beta} = \delta_{\alpha\beta} + \mathcal{O}(2)$と表されるようにする。
• 任意の多シンプレクティック多様体に、適切な計量を用いてほぼs-ケーラー構造の存在を確立する。
• $\mathbf{sl}(s+1,\mathbf{R})$-作用をコホモロジー上に用いて原始的形式を定義し、s-ケーラー多様体におけるs-リーマン型定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティックおよびハミルトニアン力学の幾何的道具は、複数の独立変数をもつPDEにどのように一般化可能か？
• RQ2 ルジャンドル変換は多シンプレクティック設定において果たす役割は何か？また、そのcanonical s-ポアソン構造とはどのように関係するか？
• RQ3 ホッジ理論やリーマン型作用素といった古典的ケーラー不変量は、どの程度s-ケーラー多様体に一般化可能か？
• RQ4 カルラヤ多様体の半平坦な特別ラグランジュ被覆を用いて、非自明なs-ケーラー多様体の例を構成可能か？
• RQ5 $\mathbf{sl}(s+1,\mathbf{R})$-作用のコホモロジー的帰結は何か？また、それらはリーマン型定理とどのように関係するか？

主な発見

• 多シンプレクティック多様体は、s個の独立変数をもつPDEのためのシンプレクティック多様体の一般化であり、局所モデルとして$\omega_j = \sum_i dx_i \wedge dy^j_i$を有する。
• ラグランジアンが非退化であれば、$^sT(M)$と$^sT^*(M)$の間で局所微分同相写像としてのルジャンドル変換が一般化され、誘導された多シンプレクティック構造が$^sT^*(M)$上の自然な構造に写される。
• 任意の多シンプレクティック多様体上にcanonical s-ポアソン構造が存在し、ハミルトンの運動方程式がs個の進化方向に一般化可能である。
• s-ケーラー多様体はケーラー多様体を一般化し、$s=1$のときにはそれらに還元される。また、一般化されたリーマン型定理を備えた豊かなホッジ理論的構造を有する。
• $\mathbf{sl}(s+1,\mathbf{R})$-作用は原始的分解を保存し、s-ケーラー多様体においてs-リーマン型定理が成立する。
• 反例により、コンパクトなs-ケーラー多様体において$\mathbf{Prim}^q(M)$が$q > n$で必ずしも消えないことが示され、例えば3次元トーラス$\mathbf{T}^3$では$\dim_{\mathbf{R}}(\mathbf{Prim}^2(\mathbf{T}^3)) = 1$となる。