[論文レビュー] Polytopal templates for the formulation of semi-continuous vectorial finite elements of arbitrary order

Adam Sky, Ingo Muench|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2022

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、参考単体上の多面体テンプレートを用いて、任意の次数の H(curl) および H(div)-適合ベクトル有限要素を構築する新しい手法を提案する。H¹-適合多項式基底と多面体の面に定義されたベクトルテンプレートを独立に組み合わせることで、一意解の存在が保証され、一貫性のある Piola 変換を介して適合基底が得られる。この手法は、緩和されたミクロ弾性モデルにおける最適収束性によって検証された。

ABSTRACT

The Hilbert spaces $H(\mathrm{curl})$ and $H(\mathrm{div})$ are needed for variational problems formulated in the context of the de Rham complex in order to guarantee well-posedness. Consequently, the construction of conforming subspaces is a crucial step in the formulation of viable numerical solutions. Alternatively to the standard definition of a finite element as per Ciarlet, given by the triplet of a domain, a polynomial space and degrees of freedom, this work aims to introduce a novel, simple method of directly constructing semi-continuous vectorial base functions on the reference element via polytopal templates and an underlying $H^1$-conforming polynomial subspace. The base functions are then mapped from the reference element to the element in the physical domain via consistent Piola transformations. The method is defined in such a way, that the underlying $H^1$-conforming subspace can be chosen independently, thus allowing for constructions of arbitrary polynomial order. The base functions arise by multiplication of the basis with template vectors defined for each polytope of the reference element. We prove a unisolvent construction of Nédélec elements of the first and second type, Brezzi-Douglas-Marini elements, and Raviart-Thomas elements. An application for the method is demonstrated with two examples in the relaxed micromorphic model

研究の動機と目的

• 一般の多面体基底要素上で高次 H(curl) および H(div)-適合有限要素を体系的かつ柔軟に構築するための手法を開発すること。
• 基礎となる H¹-適合多項式基底の選択を、ベクトル有限要素の構築から分離することで、任意の多項式次数を実現すること。
• 基底要素上のテンプレートに基づく構築により、得られるベクトル基底の一意解の存在と適合性を保証すること。
• 緩和されたミクロ弾性モデルという挑戦的な応用において、この手法の有効性と最適収束性を示すこと。
• 基礎となるスカラー多項式基底が持つ望ましい性質（例：Kronecker ダルタ、最適な複雑度）を継承するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 本手法は、参考要素上の H¹-適合多項式基底と、参考単体の各多面体（頂点、辺、面）に関連付けられた事前定義されたテンプレート・ベクトルの積を用いて、ベクトル基底関数を構築する。
• 参考三角形および四面体に対して多面体テンプレートを定義し、頂点、辺、面にベクトル方向を割り当てることで、正しい接線成分または法線成分の連続性を保証する。
• 得られたベクトル基底関数は、一貫性のある Piola 変換を介して物理的要素にマップされ、H(curl) および H(div) の適合性が保持される。
• 線形独立性および適合性の定理を用いて、Nédélec 要素（第 I 型および第 II 型）、BDM 要素、Raviart-Thomas 要素について、この構築が一意解の存在を有することを証明した。
• H¹ 多項式基底（例：ラグランジュ、ルジャンドル、ベルンシュタイン）を独立に選択可能であり、任意の多項式次数を実現でき、基底の性質をそのままで継承できる。
• 本フレームワークは、ラグランジュ多項式およびベルンシュタイン多項式を用いて緩和されたミクロ弾性モデルに適用し、最適収束率を示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたテンプレートに基づく一貫性のある手法を、多面体基底要素上で任意の次数の H(curl) および H(div)-適合有限要素を構築するために開発可能か？
• RQ2 基礎となる H¹-適合多項式基底の選択を、ベクトル有限要素の構築から分離しながら、一意解の存在と適合性を保つにはどうすればよいか？
• RQ3 多面体テンプレートは、要素境界を越えて正しい接線成分または法線成分の連続性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 本手法は、緩和されたミクロ弾性モデルのような複雑な変分問題において、最適収束率を達成できるか？
• RQ5 スカラー H¹ 基底の性質（例：Kronecker ダルタ、スパarsity）は、得られるベクトル有限要素基底にどのように伝わるか？

主な発見

• 本手法は、参考三角形および四面体上での Nédélec 要素（第 I 型および第 II 型）、BDM 要素、Raviart-Thomas 要素に対して、一意解の存在する基底を生成した。
• 緩和されたミクロ弾性モデルにおいて、立方体要素を用いて、変位の L² 範囲で O(h²)、微小歪みのための O(h³) の最適収束率が達成された。
• 一貫性のある Piola 変換により、高次要素に対しても H(curl) および H(div) の適合性が保証された。
• ラグランジュ多項式から由来する Konecker ダルタ性質と、ベルンシュタイン多項式から由来する最適な複雑度が、構築された基底に継承された。
• 基礎となる H¹-適合多項式空間を単に高次にすることで、任意の多項式次数を実現できる。
• 数値結果は、h-適応において最適収束性を確認しており、理論的期待と一致する収束率を示した。