[論文レビュー] Pontryagin Maximum Principle - a generalization

Janusz Grabowski, Michał Jóźwikowski|arXiv (Cornell University)|May 17, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、縮約されたおよび非縮約された最適制御問題を統一する幾何的枠組みであるほぼリー（AL）代数特徴に、ポントレヤーギン最大原理（PMP）を一般化する。著者らは、AL代数特徴上の可測経路のホモトピー理論を導入し、対称性の還元（たとえば剛体運動の系におけるものなど）を自然に組み込みつつ、変分および制御の完全な幾何的構造を保ちながら、普遍的なPMP形式を導出する。

ABSTRACT

The fundamental theorem of the theory of optimal control, the Pontryagin maximum principle (PMP), is extended to the setting of almost Lie (AL) algebroids, geometrical objects generalizing Lie algebroids. This formulation of the PMP yields, in particular, a scheme comprising reductions of optimal control problems similar to the reduction for the rigid body in analytical mechanics. On the other hand, in the presented approach the reduced and unreduced PMPs are parts of the same universal formalism. The framework is based on a very general concept of homotopy of measurable paths and the geometry of AL algebroids.

研究の動機と目的

• 古典的リー代数特徴を超えて、より一般なほぼリー（AL）代数特徴の設定へポントレヤーギン最大原理（PMP）を拡張すること。
• 対称性に起因する還元を自然に組み込むことで、非縮約および縮約された最適制御問題の取り扱いを統一する幾何的枠組みを構築すること。
• 可測経路のホモトピーを用いて、最適制御における変分原理を再定式化し、単なる計算的還元を越えて、還元の幾何的本質を捉えること。
• 元のPMPおよび還元されたPMPが、同じ基本的構造から導かれる普遍的な形式を確立することにより、制御、軌道、変分の幾何を保存すること。

提案手法

• AL代数特徴上の可測経路のホモトピーの概念を導入し、最適制御における変分の概念を一般化する。
• 時間 $\tau$ における無限小変分の凸錐 $\operatorname{cl}(\bm{K}^{u}_{\tau})$ を定義し、制御経路の許容可能な摂動を捉える。
• 後向き平行移動 $\bm{B}_{tt_1}$ 及びその双対 $\bm{B}^*_{tt_1}$ を用いて、終端時刻 $t_1$ におけるコストートベクトルを以前の時刻へ伝搬する。
• 凸錐の分離定理を適用し、必要条件を導出：$\bm{K}^{u}_{t_1}$ と射 $\bm{\Lambda}_{\bm{x}(t_1)}$ を分離する非ゼロコストート $\bm{\xi}(t_1)$ の存在。
• ハミルトニアン $\bm{H}(\bm{x}(t), \bm{\xi}(t), u(t)) = 0$ が正則点に沿って恒等的に成立し、$U$ 上でその上界に達することを示し、最大原理が正則点に沿って成立することを保証する。
• $\tau < t_1$ に対して $\operatorname{cl}(\bm{K}^{u}_{\tau})$ の直接極限として $\bm{K}^{u}_{t_1}$ を定義し、終端時刻における一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポントレヤーギン最大原理は、リー代数特徴よりも一般な幾何的構造、たとえばほぼリー代数特徴へどのように一般化できるか。
• RQ2 対称性に起因する最適制御問題の還元（たとえば、対称性から生じるもの）は、非縮約および縮約された系を含む、単一の普遍的形式で定式化可能か。
• RQ3 可測経路のホモトピーは、AL代数特徴上での最適制御の変分的定式化において果たす役割は何か。
• RQ4 対称的制御系において、力学の還元と同時に、変分（ホモトピー）の幾何を一貫して還元することは可能か。
• RQ5 ほぼリー代数特徴の設定において、変分の錐と終端データの射の間に分離するコストートベクトルが存在するための条件は何か。

主な発見

• ほぼリー代数特徴上での一般化されたPMPは、非縮約および縮約された最大原理の両方を、一つの幾何的枠組みで統一する。
• 変分の錐 $\bm{K}^{u}_{t_1}$ と終端の射 $\bm{\Lambda}_{\bm{x}(t_1)}$ の間に分離するコストート $\bm{\xi}(t_1) \in \bm{A}^*_{\bm{x}(t_1)}$ の存在が、最適性の必要条件を保証する。
• ハミルトニアン $\bm{H}(\bm{x}(t), \bm{\xi}(t), u(t))$ は、制御の正則点に沿って恒等的にゼロとなり、$U$ 上でその上界に達するため、PMPの核心的条件を満たす。
• 後向きにコストートを $\bm{B}^*_{tt_1}$ を用いて伝搬させることで、時間経過にわたる双対性と一貫性が保たれ、最大原理の導出が可能になる。
• 古典的な還元、たとえば $\mathfrak{so}(3)^*$ 上の剛体運動の系が、この枠組みによって自然に回復され、解析的力学における既知の結果と整合性を示す。
• $\bm{K}^{u}_{t_1}$ を直接極限として構成することにより、不連続な制御に対しても、終端時刻における変分錐の連続性と一貫性が保証される。