[論文レビュー] Pontryagin's maximum principle for optimal control of the nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes systems in two dimensions

Tania Biswas, Sheetal Dharmatti+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、不混和流体混合物をモデル化する2次元非局所 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 系の最適制御におけるポントリャーギンの最大原理を確立する。分布型制御問題としてコスト関数を最小化する枠組みを定式化し、最適制御の存在を証明するとともに、随伴変数を用いて一次の必要最適性条件を導出することで、相分離を示す流体系におけるフィードバック制御の理論的基盤を提供する。

ABSTRACT

In this work, we address some optimal control problems related to the evolution of two isothermal, incompressible, immisible fluids in a two dimensional bounded domain. A distributed optimal control problem is formulated as the minimization of a suitable cost functional subject to the controlled nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes equations. We prove the existence of an optimal control and then establish the Pontryagin's maximum principle for optimal control of such systems, which gives the first-order necessary conditions of optimality. We characterize the optimal control using the adjoint variable.

研究の動機と目的

• 非局所 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 方程式に従う2次元非圧縮性不混和流体混合物の最適制御問題に取り組む。
• コスト関数を最小化する分布型制御問題に対する最適制御の存在を証明する。
• この種の非局所 PDE システムに対して、ポントリャーギンの最大原理を用いて一次の必要最適性条件を確立する。
• 随伴変数法を用いて最適制御を特徴付ける。

提案手法

• 非局所 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 系に従うコスト関数を最小化する分布型最適制御問題を定式化する。
• 変分法を適用して制御問題の一次最適性条件を導出する。
• 状態方程式に関連する随伴系を導入し、最適制御を特徴付ける。
• 随伴変数を用いて、ポントリャーギンの最大原理の形で最適性の必要条件を導出する。
• 適切な関数空間におけるコンパクト性および弱収束の議論を用いて最適制御の存在を確立する。
• 数学的取り扱いの容易さを確保するため、2次元有界領域内で考察を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元における非局所 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 系に対して、最適制御が存在する条件は何か？
• RQ2 この種の非局所で結合された PDE システムに対して、一次の必要最適性条件をどのように導出できるか？
• RQ3 随伴変数は、このような流体混合物モデルの最適制御を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ4 ポントリャーギンの最大原理を非局所 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 系に厳密に拡張できるか？

主な発見

• 2次元における非局所 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 系に従う分布型制御問題に対して、最適制御が存在する。
• この非局所 PDE システムに対して、ポントリャーギンの最大原理を用いて一次の必要最適性条件が確立された。
• 最適制御は随伴変数によって特徴付けられ、状態方程式と共役方程式を結びつける。
• 導出された最適性系には、状態方程式、随伴方程式、およびコスト関数の勾配を含む最適性条件が含まれる。