[論文レビュー] Ponzano-Regge model revisited II: Equivalence with Chern-Simons

Laurent Freidel, David Louapre|ArXiv.org|Oct 28, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用数 52

ひとこと要約

本稿は、3次元ユークリッド量子重力のゲージ固定型ポンツァーノ＝レグレ模型と、非コンパクトなポincare代数の変形である量子群 $\mathcal{D}(\mathrm{SU}(2))$ のドリンフェルト双対における彩色されたチェーンメアリンクのレシェチキン＝トゥレイの評価との間で、厳密な数学的同等性を確立している。この同等性は、余剰対称性を除いたスピン泡沫量子化とゲージ固定型チェーン・シモンズ量子化が、宇宙定数が存在しない3次元重力において同一の結果をもたらすことを確認しており、物理的観測量および粒子挿入の観点からも完全な一貫性を示している。

ABSTRACT

We provide a mathematical definition of the gauge fixed Ponzano-Regge model showing that it gives a measure on the space of flat connections whose volume is well defined. We then show that the Ponzano-Regge model can be equivalently expressed as Reshetikhin-Turaev evaluation of a colored chain mail link based on D(SU(2)): a non compact quantum group being the Drinfeld double of SU(2) and a deformation of the Poincare algebra. This proves the equivalence between spin foam quantization and Chern-Simons quantization of three dimensional gravity without cosmological constant. We extend this correspondence to the computation of expectation value of physical observables and insertion of particles.

研究の動機と目的

• ゲージ固定により、残存する非コンパクトな並進対称性を厳密に除去することで、ポンツァーノ＝レグレ模型の数学的に明確な定式化を提供すること。
• ポンツァーノ＝レグレの状態和模型と、非コンパクト量子群 $\mathcal{D}(\mathrm{SU}(2))$ に基づくチェーン・シモンズ型TQFTとの間の直接的対応関係を確立すること。
• ポンツァーノ＝レグレの分配函数が、$\mathcal{D}(\mathrm{SU}(2))$ における彩色されたチェーンメアリンクの評価と数学的に同等であることを示すこと。
• ゲージ固定作用素を用いて、ウィルソン線および粒子挿入などの物理的観測量に対しても同等性を拡張すること。
• 結果として得られるモデルが、平坦な $\mathrm{SU}(2)$ 接続の空間上の正しい体積測度を計算することを示し、元来の定式化における発散問題を解消すること。

提案手法

• ホロノミー変数にデルタ関数を導入することで、ポンツァーノ＝レグレ模型の残存非コンパクト並進対称性をゲージ固定すること。
• トライアングルレーション上の状態和としてゲージ固定ポンツァーノ＝レグレ振幅を表現し、辺の振幅を $\mathrm{SU}(2)$ の特徴標、面の振幅を $\mathrm{SU}(2)$-不変測度で与えること。
• トライアングルレーション $\Delta$ からチェーンメアリンク $L_{\Delta}$ を構成し、辺および双対辺を $\mathcal{D}(\mathrm{SU}(2))$ の表現で彩色すること。
• レシェチキン＝トゥレイ形式を用いてチェーンメアリンクを評価し、双対辺には表現 $\Omega$ と $\Omega^*$、スパニングツリー $T$ および $T^*$ に属する辺には $j_e$ と $\theta_{e^*}$ を使用すること。
• $\mathcal{D}(\mathrm{SU}(2))$ 量子群のスライディング、キリング、結合の性質を用いてリンク評価を簡略化し、ポンツァーノ＝レグレ振幅を分離すること。
• スパニングツリー $T$ および $T^*$ に属する成分が独立に取り出せることを示し、残りのコアリンク $L_{\Delta}$ と自明なアンコイル評価（体積因子1）のみが残ることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポンツァーノ＝レグレ模型は、その残存対称性を適切にゲージ固定することで、数学的に明確な定式化が可能になるか？
• RQ2 ポンツァーノ＝レグレの状態和模型と、非コンパクト量子群に基づくチェーン・シモンズ型TQFTとの間には直接的な対応関係が存在するか？
• RQ3 スピン泡沫量子化とチェーン・シモンズ量子化の同等性は、ウィルソン線や粒子挿入などの物理的観測量に対しても拡張可能か？
• RQ4 $\mathcal{D}(\mathrm{SU}(2))$ 表現のスライディングおよび結合性質は、チェーンメアリンク評価の不変性と簡略化をどのように保証するか？
• RQ5 ゲージ固定ポンツァーノ＝レグレ模型から、平坦な $\mathrm{SU}(2)$ 接続の空間上の体積測度を一貫して導出可能か？

主な発見

• ゲージ固定ポンツァーノ＝レグレ模型は、平坦な $\mathrm{SU}(2)$ 接続の空間上に数学的に明確な測度を定義し、元来の定式化における残余対称性に起因する発散問題を解消している。
• ポンツァーノ＝レグレの分配函数は、$\mathcal{D}(\mathrm{SU}(2))$ における彩色されたチェーンメアリンクのレシェチキン＝トゥレイ評価と数学的に同等である。
• チェーンメアリンクの評価において、スパニングツリー $T$ および $T^*$ に属する成分をスライドアウトした結果、ポンツァーノ＝レグレ振幅が得られ、それらは自明に（体積因子1として）寄与する。
• 同等性は分配函数に限らず、ゲージ固定作用素を介したウィルソン線や粒子挿入の期待値に対しても成立する。
• スライディング手順は、トライアングレーションに対するレベルベースの帰納法により証明され、スパニングツリーの構造と $\Omega^*$-彩色成分の存在に依存している。
• $\mathcal{D}(\mathrm{SU}(2))$ 表現の結合およびクリービッヒ＝ゴルダン係数が、リンク評価の整合性とツリーの選び方に依存しない結果の独立性を検証するために用いられている。