[論文レビュー] Popular conjectures imply strong lower bounds for dynamic problems

Amir Abboud, Virginia Vassilevska Williams|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 92被引用数 45

ひとこと要約

この論文は、細粒度計算複雑性理論における5つの主要な予想に複雑性を関連させることで、広範な動的グラフおよびデータ構造問題に対して強力な条件付き下界を確立している。単一始点到達可能性、二部マッチング、強連結成分といった問題に対する動的アルゴリズムの顕著な改善が、3SUM、APSP、SATといった長年の未解決問題における飛躍的進展を意味することを示している。広く信じられている予想のもとで成立する。

ABSTRACT

We consider several well-studied problems in dynamic algorithms and prove that sufficient progress on any of them would imply a breakthrough on one of five major open problems in the theory of algorithms: 1. Is the 3SUM problem on $n$ numbers in $O(n^{2-ε})$ time for some $ε>0$? 2. Can one determine the satisfiability of a CNF formula on $n$ variables in $O((2-ε)^n poly n)$ time for some $ε>0$? 3. Is the All Pairs Shortest Paths problem for graphs on $n$ vertices in $O(n^{3-ε})$ time for some $ε>0$? 4. Is there a linear time algorithm that detects whether a given graph contains a triangle? 5. Is there an $O(n^{3-ε})$ time combinatorial algorithm for $n imes n$ Boolean matrix multiplication? The problems we consider include dynamic versions of bipartite perfect matching, bipartite maximum weight matching, single source reachability, single source shortest paths, strong connectivity, subgraph connectivity, diameter approximation and some nongraph problems such as Pagh's problem defined in a recent paper by Patrascu [STOC 2010].

研究の動機と目的

• 細粒度計算複雑性におけるよく知られた予想に基づいて、動的グラフおよびデータ構造問題の条件付き下界を確立すること。
• 重要な動的問題における進展が、3SUM、APSP、ブール行列積といった基本的アルゴリズム的問題における顕著な進歩を意味することを示すこと。
• SETH や Strong Exponential Time Hypothesis といった中心的な予想を含む複数の予想と関連付けることで、従来の条件付き下界結果を統一的かつ拡張すること。
• ランダム化された完全動的アルゴリズムですら、広く信じられている予想を覆さない限り、更新時間やクエリ時間の著しい改善を達成できないことを示すこと。
• 更新複雑性に対数的オーバーヘッドしか生じない部分的動的設定（増分的および減分的）に対しても結果を拡張すること。

提案手法

• 組合せ的構成およびグラフ変換を用いて、既知の難問（例：三角形検出、部分グラフ連結性）を動的問題に還元する。
• 5つの主要な予想（3SUM、APSP、SETH、三角形検出、組合せ的ブール行列積）に基づく条件付き下界の枠組みを採用する。
• パラメータ α ∈ [1/6, 1/3] を用いたパラメータライズド解析により、更新時間、クエリ時間、前処理時間のトレードオフを導出する。
• 更新時間の複雑性に僅かな対数的オーバーヘッドしか生じないインクリメンタルまたはデクリメンタル更新を用いた動的操作のシミュレーション技術を適用し、部分的動的アルゴリズムに対しても結果を得る。
• 静的問題（例：3SUM、三角形検出）における既知の下界を、シミュレーションと還元を介して動的同等問題の下界に変換する。
• 各予想のもとで更新時間、クエリ時間、前処理時間のトレードオフを形式化するために、補題に基づくアプローチ（例：補題10.4、10.5）を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一始点到達可能性の動的アルゴリズムが、3SUM予想を覆さずにサブ多項式の更新時間またはクエリ時間を持つことは可能か？
• RQ2 二部マッチングの高速な動的アルゴリズムは、グラフにおける三角形検出の高速化を意味するか？
• RQ3 強連結成分の完全動的アルゴリズムが、更新あたり O(n^1.5) より著しく速くすることは、APSP予想に反するものか？
• RQ4 部分グラフ連結性の動的アルゴリズムが、3SUM予想を覆さずに近線形時間の更新時間で実行可能か？
• RQ5 Paghの問題に対する線形時間の動的アルゴリズムは、ブール行列積やSATにおける飛躍的進展を意味するか？

主な発見

• 任意の完全動的アルゴリズムが、α ∈ [1/6, 1/3] に対して更新時間 o(m^α) およびクエリ時間 o(m^(2/3−α)) で動作する場合、3SUM予想が誤りであることを意味する。
• 動的二部完全マッチングに対しても同様のトレードオフが成立し、サブ多項式の改善は3SUM予想に反する。
• 強連結成分の動的アルゴリズムが、更新時間 o(m^α) およびクエリ時間 o(m^(2/3−α)) で動作する場合、3SUM予想が誤りであることを意味する。
• 同様の下界は、増分的および減分的といった部分的動的アルゴリズムに対しても成立し、更新複雑性に僅かな対数的オーバーヘッドしか生じない。
• 直径近似やPaghの問題に対しても結果が拡張され、それらの進展は3SUMまたは三角形検出における飛躍的進展を意味する。
• 本論文は、Strong Exponential Time Hypothesis (SETH) と動的アルゴリズムとの間で初めての関連を確立し、特定の問題に対する高速な動的アルゴリズムが、高速なSATアルゴリズムの存在を意味することを示した。