[論文レビュー] Popular Matching with Lower Quotas

Meghana Nasre, Prajakta Nimbhorkar|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2017

Game Theory and Voting Systems参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、下限定員を伴う病院-住民問題（HRLQ）に対する新しいアルゴリズム的枠組みを導入し、安定マッチングが存在しない場合でさえ、すべての可能なマッチングの中で最も人気のある（popular）可能なマッチングが常に存在することを証明している。このアプローチは、下限定員制約を組み込むように調整された変換を用いてHRLQインスタンスを標準的な病院-住民問題に還元し、O(|R|(|E| + |H|)) 時間で最大基数の最も人気のあるマッチングを、O(|R|²(|E| + |H|)) 時間で最大基数可能なマッチングの中で最も人気のあるマッチングを効率的に計算可能である。

ABSTRACT

We consider the well-studied Hospital Residents (HR) problem in the presence of lower quotas (LQ). The input instance consists of a bipartite graph $G = (\mathcal{R} \cup \mathcal{H}, E)$ where $\mathcal{R}$ and $\mathcal{H}$ denote sets of residents and hospitals respectively. Every vertex has a preference list that imposes a strict ordering on its neighbors. In addition, each hospital $h$ has an associated upper-quota $q^+(h)$ and lower-quota $q^-(h)$. A matching $M$ in $G$ is an assignment of residents to hospitals, and $M$ is said to be feasible if every resident is assigned to at most one hospital and a hospital $h$ is assigned at least $q^-(h)$ and at most $q^+(h)$ residents. Stability is a de-facto notion of optimality in a model where both sets of vertices have preferences. A matching is stable if no unassigned pair has an incentive to deviate from it. It is well-known that an instance of the HRLQ problem need not admit a feasible stable matching. In this paper, we consider the notion of popularity for the HRLQ problem. A matching $M$ is popular if no other matching $M'$ gets more votes than $M$ when vertices vote between $M$ and $M'$. When there are no lower quotas, there always exists a stable matching and it is known that every stable matching is popular. We show that in an HRLQ instance, although a feasible stable matching need not exist, there is always a matching that is popular in the set of feasible matchings. We give an efficient algorithm to compute a maximum cardinality matching that is popular amongst all the feasible matchings in an HRLQ instance.

研究の動機と目的

• 下限定員が可能なマッチングを制限する現実的課題に、特に安定マッチングが存在しない場合に、住民を病院に割り当てる方法を扱う。
• 安定性の要件を緩和し、より強く、より頑健な公平性および集団的満足感の概念である「人気性」を導入する。
• 出力されるマッチングが、下限および上限定員を尊重する「妥当性」と、すべての可能なマッチングの中で最も人気であることの両方を保証する。
• HRLQにおいて、最大基数の最も人気のあるマッチングおよび最大基数可能なマッチングの中で最も人気のあるマッチングを計算する効率的なアルゴリズムを開発する。
• 線形計画法に依存しない、組合せ的で非LPベースの「人気性」の証明を提供し、安定マッチングおよびHR文脈における先行研究を一般化・拡張する。

提案手法

• 下限定員制約を符号化するために病院の希望順序リストと定員を変更することで、変換されたHRインスタンスG′を構築する。
• 住民と病院のレベルベースの分解を用いて、マッチングのレベルをモデル化し、交互パスおよびサイクルにおける重要なパス構造を同定する。
• 住民と病院が好みに基づく投票を通じてマッチングを比較する投票ルールを定義する：(1,1) は相互の好み、(−1,−1) は相互の不満を表す。
• 変換されたインスタンスG′にGale-Shapleyアルゴリズムを適用し、安定マッチングを計算した後、これを元のHRLQインスタンスにおける妥当なマッチングにマッピングし直す。
• 最大基数の最も人気のあるマッチングを求める場合、未マッチの住民を優遇するように変更された優先順位を用いた第二のHRインスタンスG′′への還元を用いる。
• 構造的補題を用いて正しさを証明し、パス分解および投票バランスの議論を通じて、マッピングされたマッチングが、経路の分解と投票バランスの両方を介して妥当性と人気性を保持することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定マッチングが存在しない場合でさえ、HRLQインスタンスにおいて、すべての可能なマッチングの中で最も人気のある可能なマッチングが常に存在するか？
• RQ2 HRLQにおいて、可能なマッチングの集合内で最大基数の最も人気のあるマッチングを効率的に計算できるか？
• RQ3 HRLQにおいて、最大基数可能なマッチングの集合の中で最も人気のあるマッチングを計算できるか。その計算複雑度はいかほどか？
• RQ4 線形計画法に依存せずに、HRLQに「人気性」の概念をどのように適応させ、組合せ的構造を保ちながら拡張できるか？
• RQ5 マッチングMとNの対称差M ⊕ Nにおける交互パスおよびサイクルの構造的性質は、マッチングMが「人気」であることを保証するか？

主な発見

• 任意のHRLQインスタンスにおいて、安定マッチングが存在しない場合でさえ、すべての可能なマッチングの中で最も人気のある可能なマッチングが常に存在する。
• O(|R|(|E| + |H|)) 時間で、すべての可能なマッチングの中で最大基数の最も人気のあるマッチングを計算するアルゴリズムが存在する。
• O(|R|²(|E| + |H|)) 時間で、最大基数可能なマッチングの集合の中で最も人気のあるマッチングを計算するアルゴリズムが存在する。
• アルゴリズムは、変換されたHRインスタンスG′で安定マッチングを構築し、これを元のHRLQインスタンスにおける妥当かつ最も人気のあるマッチングにマッピングし直す。
• 人気性の証明は、交互パスおよびサイクルにおける投票バランスの議論に依存しており、(1,1) エッジの数が (−1,−1) エッジの数にレベル依存のオフセットを加えたもの以下であることを示している。
• 構造的補題（例：補題13）により、病院と住民が正しくレベルに分割されており、レベル間で無効なエッジが存在しないことが保証され、これにより妥当性と人気性が維持される。