[論文レビュー] Porosity of the branch set of discrete open mappings with controlled linear dilatation

Chang‐Yu Guo, Marshall Williams|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般化された $n$-多様体における線形歪みが制御された離散的で開写像について、局所的線形的 $n$-連結性および有界転がりの幾何的仮定のもとで、分岐集合およびその像の可算な $\delta$-稠密性を確立する。主な結果は、局所的倍加測度に関して分岐集合およびその像が零集合であるということであり、線形歪みに一様な有界性がある場合、計算可能な稠密定数を伴い、定量的な $\delta$-稠密性を示す。これは古典的定理を一般化し、広範な一般性において Väisälä の不等式を導く。

ABSTRACT

Assume that $X$ and $Y$ are locally compact and locally doubling metric spaces, which are also generalized $n$-manifolds, that $X$ is locally linearly locally $n$-connected, and that $Y$ has bounded turning. In this paper, addressing Heinonen's ICM 02 talk, we study the geometry of the branch set $\mathcal{B}_f$ of a quasiregular mapping between metric $n$-manifolds. In particular, we show that $\mathcal{B}_f\cap \{x\in X:H_f(x)

研究の動機と目的

• メトリック $n$-多様体間の正則的写像の分岐集合の幾何的構造を記述し、Heinonen が2002年のICM講演で提起した問いに応えること。
• 線形歪みが制御された離散的で開写像の下での分岐集合およびその像の定量的稠密性結果を確立すること。
• Bonk–Heinonen や Sarvas のような古典的定理を、最小限の解析的仮定のもとで広範なメトリック空間のクラスに一般化すること。
• ユークリッド空間を超えた測度論的分布理論を可能にする、最大限の一般性において Väisälä の不等式を導出すること。
• 主結果を特殊な場合に適用することで、Heinonen–Rickman および Heinonen–Semmes の未解決問題を解決すること。

提案手法

• 著者たちは、歪みを制御し、正則的写像を点毎の $H_f(x)$ の有界性によって定義するため、線形歪み $H_f(x)$ の概念を用いる。
• 分岐集合の「小ささ」を定量化するために、球内における空洞の相対的密度に基づく可算稠密性の概念を用いる。
• 証明は、Loewner 条件および曲線族のモジュラス推定に基づき、モジュラス歪みの定量的評価を導出する。
• 線形的局所的 $n$-連結空間に対する定量的 ENR 理論を応用し、局所的幾何を制御し、局所的結果を大域的に拡張する。
• 中空歪み推定および $K_O$-不等式を用い、定義域と像における曲線族のモジュラスを関連付ける。
• Väisälä の不等式の導出は、Poletsky の不等式と、倍加測度の下での分岐集合の像の零集合性を組み合わせることでなされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メトリック $n$-多様体間の正則的写像の分岐集合の幾何は、稠密性の観点から記述可能か？
• RQ2 どのような幾何的仮定のもとで、分岐集合およびその像は可算的に稠密になるか？
• RQ3 線形歪みが制御された一般のメトリック測度空間において、Väisälä の不等式を確立できるか？
• RQ4 線形歪み $H_f(x) \leq H$ が一様に成り立つ場合、分岐集合の稠密性は定量的に制御可能か？
• RQ5 Bonk–Heinonen や Sarvas のような古典的定理は、滑らかでないメトリック空間へ一般化可能か？

主な発見

• 集合 $\mathcal{B}_f \cap \{x \in X : H_f(x) < \infty\}$ は $X$ において可算的稠密であり、$f$ による像は $Y$ において可算的稠密である。
• 一様有界性 $H_f(x) \leq H$ の下で、$\mathcal{B}_f$ および $f(\mathcal{B}_f)$ は計算可能な稠密定数 $\delta$ を伴い、可算的 $\delta$-稠密である。$\delta$ は $H$ および $X$ と $Y$ の幾何的データに依存する。
• 分岐集合およびその像は、それぞれ $X$ および $Y$ 上の任意の局所的倍加測度に関して零集合である。
• 結果は、制御された幾何的構造を持つ広範な一般化された $n$-多様体のクラスに、Bonk–Heinonen の定理および Sarvas の定理を一般化する。
• 離散的で開写像かつ有限な線形歪み、および一様有界な $H_f$ を満たす場合、Väisälä の不等式は完全な一般性において成り立ち、定数 $K_I$ は $H$ および空間のデータにのみ依存する。
• 主結果は、一般定理を特殊な場合に適用することで、Heinonen–Rickman の未解決問題および Heinonen–Semmes の未解決問いを解決する。