[論文レビュー] Porous media, Fast diffusion equations and the existence of global weak solution for the quasi-solution of compressible Navier-Stokes equations

Boris Haspot|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、特定の粘性則の下で多孔質媒体、急速拡散、熱方程式と関連付けることで、圧縮性ストークス方程式の準解に対するグローバル弱解の存在を示す、新規な枠組みを構築した。$μ(ρ) = ρ^α$ で $α > 1$ の場合、密度は準有限伝播速度を示し、2次元においても初期データが大きくても、質量 $\|ρ_0\|_{L^1}$ のバーレンブレット解に漸近的に収束する。

ABSTRACT

In \cite{arxiv,arxiv1,Kor,cras1,cras2}, we have developed a new tool called extit{quasi solutions} which approximate in some sense the compressible Navier-Stokes equation. In particular it allows us to obtain global strong solution for the compressible Navier-Stokes equations with extit{large} initial data on the irrotational part of the velocity ( extit{large} in the sense that the smallness assumption is subcritical in terms of scaling, it turns out that in this framework we are able to obtain a family of large initial data in the energy space in dimension N=2). In this paper we are interested in proving the result anounced in \cite{cras3} concerning the existence of global weak solution for the quasi-solutions, we also observe that for some choice of initial data (irrotationnal) the quasi solutions verify the porous media, the heat equation or the fast diffusion equations in function of the structure of the viscosity coefficients. In particular it implies that it exists classical quasi-solutions in the sense that they are $C^{\infty}$ on $(0,T) imes\R^{N}$ for any $T>0$. Finally we show the convergence of the global weak solution of compressible Navier-Stokes equations to the quasi solutions in the case of a vanishing pressure limit process. In particular we show that for highly compressible equations the speed of propagation of the density is quasi finite when the viscosity corresponds to $μ(ρ)=ρ^α$ with $α>1$. Furthermore the density is not far from converging asymptotically in time to the Barrenblatt solution of mass the initial density $ρ_{0}$.

研究の動機と目的

• 圧縮性ストークス方程式の準解に対するグローバル弱解の存在を、大規模な初期データを持つ場合の既存のグローバル強解の結果を拡張する形で確立すること。
• 特定の粘性構造の下で、準解と根本的な非線形PDE（多孔質媒体方程式、急速拡散方程式、熱方程式）との関係を明確にすること。
• 高圧縮性流れにおける密度の自由境界の伝播速度を解析し、$μ(ρ) = ρ^α$、$α > 1$ の場合に準有限伝播速度を示すこと。
• 密度の長時間的漸近的挙動を調査し、質量 $\|ρ_0\|_{L^1}$ のバーレンブレット解への収束を証明すること。

提案手法

• エネルギー空間における大規模な初期データを持つ圧縮性ストークス方程式に対してグローバル解を構成するための正則化ツールとして「準解」の概念を導入する。
• 自己相似変換における系のスケーリング不変性を分析し、多孔質媒体方程式または急速拡散方程式に帰着する相似指数 $α$, $α_1$, $β$ を導出する。粘性パラメータに依存する。
• $L^1$ および $L^p$ 空間におけるコンパクトネスおよび弱収束の議論を用いて、近似解 $ρ_ε$ が $C([0,T], L^1(\mathbb{R}^N))$ 内で極限 $ρ$ に強い収束することを証明する。
• 補間および $L^p$ の減衰推定を用いて、$\|ρ_ε(t)\|_{L^p}$ が時間とともに減衰することを示し、非線形減衰効果を示す。
• 漸近的挙動の基準としてバーレンブレット解を用い、$ε$ が十分小さい場合に $\|ρ_ε(t) - U_m(t)\|_{L^1} \to 0$ ($t \to \infty$) を証明する。
• 圧力の消失極限過程において、圧縮性ストークス方程式のグローバル弱解が準解に収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧縮性ストークス方程式の準解が、弱解として時間全域にわたりグローバルに存在する条件は何か？
• RQ2 粘性係数 $μ(ρ) = ρ^α$ および $λ(ρ) = ρ^α$ の構造が、多孔質媒体方程式または急速拡散方程式との関係をどのように導くか？
• RQ3 $μ(ρ) = ρ^α$ で $α > 1$ の場合、密度の自由境界の伝播速度はいかなるものか？
• RQ4 準解の密度は、質量 $\|ρ_0\|_{L^1}$ のバーレンブレット解に漸近的に収束するか？
• RQ5 圧力の消失極限過程は、圧縮性ストークス方程式のグローバル弱解と準解との間にどのような関係をもたらすか？

主な発見

• 圧縮性ストークス方程式の準解系に対して、$N=2$ の次元でエネルギー空間における大規模な初期データに対しても、グローバル弱解が存在する。
• 渇きのない初期データおよび粘性 $μ(ρ) = ρ^α$（$α > 1$）の下で、準解は急速拡散方程式を満たし、任意の $T > 0$ に対して $(0,T) \times \mathbb{R}^N$ 上で $C^\infty$ である。
• $μ(ρ) = ρ^α$（$α > 1$）の場合、密度の自由境界の伝播速度は準有限である。$ρ_ε$ が $C([0,T], L^1(\mathbb{R}^N))$ 内で $ρ$ に強い収束するため。
• $ε$ が十分小さい場合、$\|ρ_ε(t)\|_{L^p}$ は時間とともに減衰し、非線形減衰効果を示す。減衰率は $\|ρ(t)\|_{L^p} \leq C t^{-\sigma_p} \|ρ_0\|_{L^1}^{\alpha_p}$ である。
• $t \to \infty$ のとき、$ρ_ε(t, \cdot)$ は $L^1$ で質量 $m = \|ρ_0\|_{L^1(\mathbb{R}^N)}$ のバーレンブレット解 $U_m$ に収束する。$ε$ が十分小さい場合に成立。
• 圧力の消失極限において、圧縮性ストークス方程式のグローバル弱解は準解に収束し、準解フレームワークの整合性が裏付けられる。