[論文レビュー] Port-Hamiltonian descriptor systems

Christopher Beattie, Volker Mehrmann+2 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2017

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 30被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、任意の微分次数インデックスを持つ微分代数方程式（DAE）にポート・ハミルトニアン（pH）構造を拡張する、新しい代数的・幾何的枠組みを提案する。この枠組みは、同値変換のもとでも不変であることを証明し、高インデックス DAE が pH 構造を保ったまま正則化可能であることを示しており、安定な数値シミュレーションおよび制御が可能となる。

ABSTRACT

The modeling framework of port-Hamiltonian systems is systematically extended to constrained dynamical systems (descriptor systems, differential-algebraic equations). A new algebraically and geometrically defined system structure is derived. It is shown that this structure is invariant under equivalence transformations, and that it is adequate also for the modeling of high-index descriptor systems. The regularization procedure for descriptor systems to make them suitable for simulation and control is modified to deal with the port-Hamiltonian structure. The relevance of the new structure is demonstrated with several examples.

研究の動機と目的

• 微分代数方程式（DAE）の記述系、特に高インデックスおよびインデックス2系にまで拡張されたポート・ハミルトニアン（pH）モデリング枠組みを構築すること。
• 同値変換のもとでも不変である新しい代数的・幾何的構造を、pHDAE に定義すること。
• DAE のインデックス低減の過程で pH 構造を保持する正則化手順を開発し、数値シミュレーションおよび制御に適した形を保証すること。
• DAE における一貫した初期条件および隠れた制約を、pH 框組みの中で体系的に捉えること。
• pHDAE の動的挙動と制約を、pH 構造を保ったまま明確に分離できることを示すこと。

提案手法

• エネルギーの流れ、散逸、ポート接続を記述する反対称行列および対称行列を用いた、pHDAE の新しい構造的定義を提案する。
• SVD を用いた同値変換（例：SVD を用いた変換）を適用し、系を動的部と代数的部に分離するが、pH 構造を保持する。
• インデックス1の動的挙動を分離し、明示的な代数的制約（初期条件の一貫性条件も含む）を特定する変換を導入する。
• 陰関数定理および局所的定秩仮定を用いて、非線形 pHDAE に対しても結果を拡張する。
• 系が非可逆標準 pH 系と、解の多様体を記述する代数的制約の集合に分解される正準形を導出する。
• 行列分解（例：$N^T$ の SVD）を用いて、制御不能な部分およびインデックス2の制約を特定し、体系的な再定式化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分次数インデックスが1より大きい微分代数方程式に、ポート・ハミルトニアン構造を一貫して拡張する方法は何か？
• RQ2 記述系の文脈において、同値変換のもとでも pH フレームワークが保持する構造的不変性の性質は何か？
• RQ3 高インデックス DAE の正則化を、元のエネルギーベースの構造およびパassing性の性質を保ったまま行えるか？
• RQ4 pHDAE における一貫した初期条件および隠れた制約を、体系的に特定・強制する方法は何か？
• RQ5 pHDAE の動的挙動を、pH 構造を保ったまま制約からどれだけ明確に分離できるか？

主な発見

• 提案された pHDAE 構造は、同値変換のもとでも不変であり、システムの再パrameterizationに対してロバストであることが保証される。
• 高インデックス DAE（インデックス2を含む）は、明示的な代数的制約と結合された暗黙的標準 pH 系に再定式化可能であり、数値統合が可能となる。
• 再定式化された系は、動的挙動と制約多様体（初期状態の一貫性条件を含む）を明確に分離しており、物理的解釈が明確になる。
• ラグランジュ乗数（例：$x_3$）は連続的な表現により明示的に再構成され、適切な入力の正則性のもとで解の連続性が保証される。
• μ > 0 である非線形 pHDAE に対しては、線形化および陰関数定理の下で局所的構造が保持され、局所的解析が可能となる。
• 本手法により、再定式化された系においてパassing性およびラプラウン安定性が保持され、物理的解釈性が維持される。