[論文レビュー] Port-Hamiltonian formulation and structure-preserving discretization of hyperelastic strings

Philipp L. Kinon, Tobias Thoma+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2023

Control and Stability of Dynamical Systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非線形材料挙動を有する幾何学的に正確な超弾性ひもに対するポート・ハミルトニアン（PH）定式化を提示する。混合有限要素法と離散勾配を用いた構造保存型空間的・時間的離散化が可能となり、得られる有限次元PHモデルはエネルギー保存則、パassivity、およびパワー共役ポートを保持する。非線形材料に対しては、中点則などの標準的な時間積分法よりもエネルギー一貫性に優れる。

ABSTRACT

Port-Hamiltonian (PH) systems provide a framework for modeling, analysis and control of complex dynamical systems, where the complexity might result from multi-physical couplings, non-trivial domains and diverse nonlinearities. A major benefit of the PH representation is the explicit formulation of power interfaces, so-called ports, which allow for a power-preserving interconnection of subsystems to compose flexible multibody systems in a modular way. In this work, we present a PH representation of geometrically exact strings with nonlinear material behaviour. Furthermore, using structure-preserving discretization techniques a corresponding finite-dimensional PH state space model is developed. Applying mixed finite elements, the semi-discrete model retains the PH structure and the ports (pairs of velocities and forces) on the discrete level. Moreover, discrete derivatives are used in order to obtain an energy-consistent time-stepping method. The numerical properties of the newly devised model are investigated in a representative example. The developed PH state space model can be used for structure-preserving simulation and model order reduction as well as feedforward and feedback control design.

研究の動機と目的

• 既存のひも用ポート・ハミルトニアン（PH）定式化を、非線形的超弾性材料挙動に拡張すること。
• 連続系の幾何学的・エネルギー的構造を保持する有限次元PH状態空間モデルを構築すること。
• Gonzalezの意味における離散勾配を用いて、非線形ひもにおけるエネルギー一貫性のある時間積分を保証すること。
• 明確に定義されたポートを通じて、柔軟なマルチボディ系内でのひも同士のモジュラーかつパワー保存型結合を可能にすること。
• 数値的に、提案手法が荷重段階を過ぎてもエネルギー保存則を維持することを示すこと。標準的な時間積分法とは対照的である。

提案手法

• 位置、速度、歪み、応力の各変数を独立変数として含む、Hu-Washizu汎関数を模倣した混合変分原理に基づき、幾何学的に正確なひも運動を定式化する。
• ポート・ハミルトニアン枠組みにおいて、初期境界値問題の弱形式を導出し、境界におけるパワー共役ポート（速度と力のペア）を明示的に特定する。
• 位置と速度には連続的補間、歪みと応力には不連続的補間を用いた混合有限要素法を適用し、半離散PHモデルを構築する。
• 離散勾配（Gonzalez法）に基づく時間積分スキームを実装し、離散系におけるエネルギー一貫性とパassivityを確保する。
• 各時間ステップで非線形方程式系を解くために、$10^{-11}$ の残差許容誤差を用いたニュートン法を用い、混合境界条件を適用する。
• ゴム状の材料特性と時間変動するノイマン境界力を持つひもの振り子の例を用いて、手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何学的に正確なひもに超弾性材料挙動を組み込んだポート・ハミルトニアン定式化を構築可能か。パワー共役構造を保持できるか。
• RQ2 混合有限要素離散化が、半離散モデルにおけるPH構造とポートを保持するか。
• RQ3 離散勾配が、外部荷重段階を過ぎても非線形ひもに対してエネルギー一貫性のある時間積分を保証できるか。
• RQ4 非線形材料に対して、提案手法と陰的中点則の間でエネルギー保存則の観点から、どのように比較できるか。
• RQ5 代表的な動的例において、得られる構造保存型スキームの数値的性質は何か。

主な発見

• 提案されたPH定式化は、歪みエネルギー関数を用いて非線形的超弾性材料挙動を効果的に組み込み、以前の線形PHモデルを拡張した。
• 混合有限要素法による半離散モデルは、PH構造（ポートおよび因果関係を含む）を保持しており、パワー保存型接続を保証する。
• 離散勾配時間積分スキームにより、荷重段階終了後もエネルギー保存則が、ニュートン法の収束許容誤差（$10^{-11}$）の範囲内で維持された。これは数値的エネルギー一貫性を示している。
• 一方、陰的中点則は、荷重段階と同程度のオーダーのハミルトニアンの増分を示し、非線形領域ではエネルギー保存が失敗していることを示している。
• 離散ハミルトニアン $ackslash$ hat extasciasciicircum extasciitilde H_n$ は $t = 0.2$ 秒以降、機械精度で一定に保たれ、本手法の構造保存性を裏付けている。
• 本手法は、非作動自由度を持つ柔軟なマルチボディ系におけるモデル低次元化、状態推定、フィードバック制御への将来的応用を可能にする。