[論文レビュー] Port-Hamiltonian Realizations of Nonminimal Linear Time Invariant Systems

Christopher Beattie, Volker Mehrmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 35被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、フィードスルー行列の対称部が特異である場合やシステムが非パassingである場合を含め、一般の非最小次元線形時不変（LTI）システムをポート・ハミルトニアン（pH）形式に変換する数値的手法を提示する。この手法は、Kalman-Yakubovich-Popov（KYP）不等式の正則化された解を用いて、構造的行列変換を通じてpH実現を構築し、最小限の摂動で安定化およびパassing回復を可能にする。

ABSTRACT

Numerical methods for developing port-Hamiltonian representations of general linear time-invariant systems are studied. The approach extends previous port-Hamiltonian characterizations to include the general non-minimal case and the case where the feedthrough term fails to have an invertible symmetric part. The resulting construction is able to identify infeasibility when the system fails to be port-Hamiltonian, and allows for the incorporation of perturbations in order to arrive at a nearby port-Hamiltonian system. Results are illustrated via numerical examples.

研究の動機と目的

• 非最小次元LTIシステム、特にフィードスルー行列の対称部が特異である場合を含む一般のシステムに対し、ポート・ハミルトニアン（pH）システムの特徴付けを拡張すること。
• システムが本質的にパassingでないか、安定でない場合に、pH実現を構築する数値的に安定した手順を開発すること。
• KYP不等式の違反を検出することでpH実現の不可能性を特定し、有効なpH構造を達成するために必要な最小摂動を定量化すること。
• 構造的行列分解と定義される部分空間計算を用いて、任意のLTIシステムをpH形式に変換する計算的に実装可能なアルゴリズムを提供すること。
• 元のシステムが非パassingまたは不安定であっても、結果として得られるpHシステムが構成上パassingかつ安定であることを保証すること。

提案手法

• ポート・ハミルトニアン実現問題を、Kalman-Yakubovich-Popov（KYP）条件から導出された線形行列不等式（LMI）（式9）の解法として定式化する。
• KYP LMIが不可能な場合に対処するため、正定値解Qの存在を保証するために小さな摂動を導入する正則化された解法戦略を用いる。
• KYP不等式の可解性を分析し、構造的障害を検出するために、偶行列パイプル（式32）に対する階段状の還元と定義される部分空間計算を適用する。
• 解Qを用いて変換行列を構築し、元のLTIシステムをpH形式に変換する。この際、システムの次数と構造を保持する。
• 微分配列法（[38, 39] より）を用いて、パイプルの有限、無限、特異固有値成分を分離し、数値的安定性を向上させる。
• 数値連続法と残差追跡を用いて、システムパラメータの変化に伴うQと摂動ノルムの挙動を監視することで、実装を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の非最小次元LTIシステムが、フィードスルー行列の対称部が特異であっても、ポート・ハミルトニアンシステムに変換可能となる条件は何か？
• RQ2 与えられたLTIシステムに対して、pH実現の存在が不可能であることを数値的に検出する方法は何か？
• RQ3 非パassingまたは非安定なLTIシステムが、近傍のポート・ハミルトニアン表現を有するようにするために必要な最小摂動は何か？
• RQ4 KYP不等式の解Qは、特異点付近やパイプルの高インデックスを持つ場合に、システムパラメータの変化にどのように応答するか？
• RQ5 本手法を微分代数方程式（DAE）に拡張し、pH構造を保存したまま扱えるか？

主な発見

• 本手法は、テストされたすべての非最小次元LTIシステムに対して、pH実現を成功裏に構築した。特に、KYP不等式が不可能な場合でも同様に有効であった。
• KYP不等式が不可能な場合、アルゴリズムはわずかに摂動を加えたシステムに対して正定値Qを計算し、その摂動ノルム（残差）は図1および図2で数値的に追跡された。
• ϵ = 0 のとき、パイプル（32）のインデックスは ≥2 であるが、本手法は数値的に安定であり、数値的悪条件性にもかかわらず有効なpH構造を生成した。
• 計算されたQと残差は、非常に小さいまたは負の値に対しても滑らかに変化し、パrameter変動に対して強いロバストネスを示した。
• 解Qは一意ではなく、同じ既知のpHシステムから出発しても、異なる実現が得られる場合がある。例37で示された。
• 本手法により、非パassingまたは不安定なLTIシステムに対し、最小限の構造的摂動を加えることで、近傍の安定かつパassingなpHシステムを構築可能となった。