[論文レビュー] Portfolio optimization in the case of an asset with a given liquidation time distribution

Ljudmila A. Bordag, Ivan P. Yamshchikov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2014

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ランダムな解体時期を持つ非流動的資産を保有する投資家を想定し、対数効用関数を用いたメリトンの連続時間消費モデルに基づくポートフォリオ最適化フレームワークを開発する。指数分布およびワイブル分布の解体時期分布の両方について、粘性解の存在および一意性を証明し、非流動性が顕著である場合、特に非流動的資産がポートフォリオ総額の5％を超える場合には、メリトンの二資産モデルとは顕著に異なる最適戦略が得られることを示している。

ABSTRACT

Management of the portfolios containing low liquidity assets is a tedious problem. The buyer proposes the price that can differ greatly from the paper value estimated by the seller, the seller, on the other hand, can not liquidate his portfolio instantly and waits for a more favorable offer. To minimize losses in this case we need to develop new methods. One of the steps moving the theory towards practical needs is to take into account the time lag of the liquidation of an illiquid asset. This task became especially significant for the practitioners in the time of the global financial crises. Working in the Merton's optimal consumption framework with continuous time we consider an optimization problem for a portfolio with an illiquid, a risky and a risk-free asset. While a standard Black-Scholes market describes the liquid part of the investment the illiquid asset is sold at a random moment with prescribed liquidation time distribution. In the moment of liquidation it generates additional liquid wealth dependent on illiquid assets paper value. The investor has the logarithmic utility function as a limit case of a HARA-type utility. Different distributions of the liquidation time of the illiquid asset are under consideration - a classical exponential distribution and Weibull distribution that is more practically relevant. Under certain conditions we show the existence of the viscosity solution in both cases. Applying numerical methods we compare classical Merton's strategies and the optimal consumption-allocation strategies for portfolios with different liquidation-time distributions of an illiquid asset.

研究の動機と目的

• 2008年以降の金融危機に続く状況において特に重要となる、解体時期が不確実な非流動的資産を含むポートフォリオの管理という課題に取り組む。
• メリトンの最適消費および投資フレームワークを拡張し、所定の分布に従ってランダムな時期に売却される非流動的資産を含める。
• 異なる解体時期分布の下で、ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式に対する粘性解の存在および一意性を確立する。
• ワイブル分布および指数分布の両方の解体時期分布に対する最適戦略を、古典的なメリトン戦略と数値的に比較する。
• 非流動性が消費および資産配分に与える影響を定量的に評価する。特に、非流動的資産が総資産の非無視可能な割合を占める場合に注目する。

提案手法

• メリトンのフレームワークに従い、無リスク資産、リスク資産、およびランダムな解体時期を持つ非流動的資産を含む連続時間最適制御問題を定式化する。
• 非流動的資産の解体時期を指数分布またはワイブル分布でモデル化し、ワイブル分布がより実用的であるとされる。
• 価値関数のためのHJB方程式を導出し、一般条件下で粘性解の存在および一意性を証明する。
• 解析的手法を用いて、ワイブル分布に従う解体時期の場合の補助関数Ψ₁、Ψ₂、Θの明示的表現を導出する。
• 漸近的解析を用いて、価値関数がe^(-κt)より速く減少することを確認し、理論的枠組みの妥当性を裏付ける。
• 数値シミュレーションを用いて、異なる解体時期分布および非流動性水準における最適消費および投資政策を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非流動的資産がランダムな解体時期を持つ場合、古典的メリトンモデルと比較して最適消費および投資戦略にどのような影響を与えるか？
• RQ2 解体時期が確率的であるポートフォリオ最適化問題において、HJB方程式に対する粘性解が存在する条件は何か？
• RQ3 指数分布とワイブル分布に従う解体時期の下で、最適戦略はどのように異なるか。また、どちらが現実の非流動性パターンをより適切に反映しているか？
• RQ4 非流動的資産のポートフォリオ内割合が小さくなるにつれて、最適政策がどれほどメリトン解に収束するか？
• RQ5 非流動性が、特に非流動的資産が総資産の5％を超える場合に、リスク資産への投資割合および消費水準に与える定量的影響は何か？

主な発見

• 本稿では、指数分布およびワイブル分布の両方の解体時期分布の下で、HJB方程式に対する粘性解の存在および一意性を証明している。
• 形状母数k > 1のワイブル分布の場合、価値関数はe^(-κt)より速く減少することが確認され、理論的枠組みの妥当性が裏付けられた。
• 数値結果から、非流動的資産がポートフォリオ総額の5％を超える場合には、最適消費および投資戦略がメリトンの二資産モデルとは顕著に異なることが示された。
• 非流動的資産の価値が無視できるほど小さくなる（すなわちz → 0）と、すべての最適政策は二資産ポートフォリオの古典的メリトン解に収束する。
• 非流動性が存在する場合、リスク資産への投資割合はメリトンモデルのそれよりも低くなる傾向が強く、非流動的資産の割合が大きい場合には顕著である。
• 特にk > 1の場合、ワイブル分布は指数分布よりもメリトン戦略からの逸脱が顕著であり、より現実的な非流動性ダイナミクスを反映している。