[論文レビュー] Portfolio Optimization with Spectral Measures of Risk

Carlo Acerbi, Simonetti Prospero|ArXiv.org|Mar 29, 2002

Risk and Portfolio Optimization参考文献 10被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、期待ショートフォール最適化のPflug-Rockafellar-Uryasev手法を一般のスペクトルリスク測度へ拡張し、任意のスペクトル測度 $ M_{\rho} $ の最小化が、追加パラメータを備えた凸かつ区分線形な補助関数の最小化に等価であることを示している。これにより、線形計画法による効率的な解法が可能になる。主な洞察は、スペクトル測度の最小化が本質的にリスクとリターンをバランスさせるため、制約付きMarkowitz型最適化は、補間されたスペクトル測度の非制約最小化と同等である。

ABSTRACT

We study Spectral Measures of Risk from the perspective of portfolio optimization. We derive exact results which extend to general Spectral Measures M_phi the Pflug--Rockafellar--Uryasev methodology for the minimization of alpha--Expected Shortfall. The minimization problem of a spectral measure is shown to be equivalent to the minimization of a suitable function which contains additional parameters, but displays analytical properties (piecewise linearity and convexity in all arguments, absence of sorting subroutines) which allow for efficient minimization procedures. In doing so we also reveal a new picture where the classical risk--reward problem a la Markowitz (minimizing risks with constrained returns or maximizing returns with constrained risks) is shown to coincide to the unconstrained optimization of a single suitable spectral measure. In other words, minimizing a spectral measure turns out to be already an optimization process itself, where risk minimization and returns maximization cannot be disentangled from each other.

研究の動機と目的

• 期待ショートフォール最小化のPflug-Rockafellar-Uryasev手法を、任意のスペクトルリスク測度へ一般化すること。
• スペクトル測度の最小化における計算上の課題（順序付けられたシナリオに依存する性質）を克服すること。
• スペクトル測度の最小化が本質的にリスクとリターンをバランスさせるため、別個のリスク・リターン制約を設ける必要がないことを明らかにすること。
• 制約付きMarkowitz型最適化（固定リターンのリスク最小化、または逆）が、単一の補間スペクトル測度の非制約最小化と同等であることを示すこと。

提案手法

• ソート処理を回避するため、補助変数と区分線形かつ凸な関数 $ \Gamma_{\hat{\phi}}(X, \psi_1) $ を用いたスペクトル測度最小化の再定式化を提案。
• リスク回避関数 $ \phi $ を用いて定義されるスペクトル表現 $ M_{\phi}(X) = -\int_0^1 \phi(p) F_X^{\leftarrow}(p) dp $ を用いてリスク測度を定義。
• スペクトル測度 $ M_{\phi}(X) $ と負の期待リターン $ -\mathrm{E}[X] $ の間の線形補間を導入し、$ M_{\hat{\phi}(\lambda)}(X) = (1-\lambda)M_{\phi}(X) - \lambda\mathrm{E}[X] $ を形成。
• パラメータ $ \lambda \in [0,1] $ に対して $ M_{\hat{\phi}(\lambda)}(X) $ の最小化が、古典的Markowitz問題の効率的フロンティアを回復することを示した。
• 再定式化された関数の凸性と区分線形性を活用し、線形計画法による効率的な最適化を可能にした。
• 制約付き問題の非最適解が、$ \lambda \notin [0,1] $ の場合にのみ $ M_{\hat{\phi}(\lambda)}(X) $ の最小値に対応することを証明し、最適ポートフォリオのみが選択されることを保証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Pflug-Rockafellar-Uryasev手法による期待ショートフォール最小化は、任意のスペクトルリスク測度へ一般化可能か？
• RQ2 スペクトル測度推定器の非解析的かつソート依存性を克服し、効率的な最適化を実現する方法は何か？
• RQ3 リスク最小化とリターン最大化を統合する統一的な枠組みは存在するか？
• RQ4 古典的Markowitz効率的フロンティアは、単一のスペクトル測度の非制約最小化として回復可能か？
• RQ5 標準偏差や期待ショートフォールを超えて、リスク回避関数 $ \phi $ が最適ポートフォリオ配分を決定する役割を果たすメカニズムは何か？

主な発見

• 任意のスペクトル測度 $ M_{\phi}(X) $ の最小化は、補助変数を備えた凸かつ区分線形関数 $ \Gamma_{\hat{\phi}}(X, \psi_1) $ の最小化と等価であり、これにより線形計画法による効率的な解法が可能になる。
• 期待リターン $ \mu $ を固定する制約付き最小化問題 $ M_{\phi}(X) $ は、$ \lambda \in [0,1] $ の範囲で $ M_{\hat{\phi}(\lambda)}(X) = (1-\lambda)M_{\phi}(X) - \lambda\mathrm{E}[X] $ の非制約最小化と同等である。
• $ (ES_\alpha, \mathrm{E}[X]) $ 平面上の効率的フロンティアは、$ \hat{\phi}(\lambda)(p) = \lambda + \frac{1-\lambda}{\alpha} \theta(\alpha - p) $ を用いた $ M_{\hat{\phi}(\lambda)}(X) $ の最小化解として回復される。
• スペクトル測度の最小化は本質的にリスクとリターンをバランスさせるため、Markowitz型最適化におけるリスク・リターンの目的関数の分離は人工的で不必要である。
• 非最適解が $ \lambda \notin [0,1] $ の場合にのみ $ M_{\hat{\phi}(\lambda)}(X) $ の最小値に対応するため、本手法は最適ポートフォリオのみを保証する。このとき測度はもはや有効でなくなる。
• 再定式化により、補助関数の区分線形性と凸性のおかげで、標準的な線形計画法技術を用いた効率的な最適化が可能になる。