[論文レビュー] Poset Ramsey Numbers for Boolean Lattices

Linyuan Lü, Joshua C. Thompson|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ブールラティスにおけるposetラマージー数の上界を改善し、$ R(Q_n, Q_n) $、$ R(Q_2, Q_n) $、および $ R(Q_3, Q_n) $ に対してよりきめの細かい推定値を、組合せ的および極値的poset技法を用いて確立している。主な結果として、$ R(Q_n, Q_n) \to n^2 - n + 2 $ が得られ、従来の上界を顕著に縮小し、$ m, n $ が大きい場合に $ R(Q_m, Q_n) = o(n^2) $ であるという予想を支持する。

ABSTRACT

A subposet $Q'$ of a poset $Q$ is a extit{copy of a poset} $P$ if there is a bijection $f$ between elements of $P$ and $Q'$ such that $x \le y$ in $P$ iff $f(x) \le f(y)$ in $Q'$. For posets $P, P'$, let the extit{poset Ramsey number} $R(P,P')$ be the smallest $N$ such that no matter how the elements of the Boolean lattice $Q_N$ are colored red and blue, there is a copy of $P$ with all red elements or a copy of $P'$ with all blue elements. Axenovich and Walzer introduced this concept in extit{Order} (2017), where they proved $R(Q_2, Q_n) \le 2n + 2$ and $R(Q_n, Q_m) \le mn + n + m$, where $Q_n$ is the Boolean lattice of dimension $n$. They later proved $2n \le R(Q_n, Q_n) \le n^2 + 2n$. Walzer later proved $R(Q_n, Q_n) \le n^2 + 1$. We provide some improved bounds for $R(Q_n, Q_m)$ for various $n,m \in \mathbb{N}$. In particular, we prove that $R(Q_n, Q_n) \le n^2 - n + 2$, $R(Q_2, Q_n) \le \frac{5}{3}n + 2$, and $R(Q_3, Q_n) \le \frac{37}{16}n + \frac{39}{16}$. We also prove that $R(Q_2,Q_3) = 5$, and $R(Q_m, Q_n) \le (m - 2 + \frac{9m - 9}{(2m - 3)(m + 1)})n + m + 3$ for all $n \ge m \ge 4$.

研究の動機と目的

• 対称的なケース $ R(Q_n, Q_n) $ における既存の $ R(Q_m, Q_n) $ の上界を精緻化すること。
• $ m $ が小さく $ n $ が大きい場合の $ R(Q_m, Q_n) $ について、既知の上界と下界の差を埋めること。
• $ R(Q_2, Q_n) $、$ R(Q_3, Q_n) $、および $ m \to n $ の一般ケース $ R(Q_m, Q_n) $ について、よりきめの細かい漸近的推定値を提供すること。
• $ R(Q_2, Q_3) = 5 $ といった正確な値を確認し、ブールラティスにおける小さなラマージー数の基礎的理解を深めること。
• $ m, n $ が大きい場合に $ R(Q_m, Q_n) = o(n^2) $ であるという予想を支持することにより、対称ケースにおける二次未満の成長を示唆すること。

提案手法

• ブールラティス $ Q_N $ の色分けについてのケース解析を実施し、特にレベル集合と包含鎖に注目して $ Q_n $ の単色コピーを検出すること。
• 極値的poset構成と構造的制約を用いて、$ Q_n $ の単色コピーを形成しないまま共存できる赤または青の要素の数を制限すること。
• 次元 $ n $ における再帰的および帰納的推論を適用し、AxenovichとWalzer、およびWalzerの改良による既知の上界を活用すること。
• $ n \to m \to 4 $ の場合に、$ R(Q_m, Q_n) $ に対する新しい不等式に基づく上界を導入し、$ R(Q_m, Q_n) \to \big(m - 2 + \frac{9m - 9}{(2m - 3)(m + 1)}\big)n + m + 3 $ として表現すること。
• $ N = 5 $ に対して体系的なケース別解析を実施し、$ R(Q_2, Q_3) = 5 $ を証明し、すべての2色塗り分けにおいて単色の $ Q_2 $ または $ Q_3 $ が存在することを検証すること。
• Lubell関数およびposet次元の概念を活用して、$ Q_n $-フリーな族のサイズを制限し、ラマージー数の上界に情報を与えること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ R(Q_n, Q_n) $ の最もきつい可能な上界は何か？ また、既知の下界 $ 2n $ と比べてどうか？
• RQ2 $ R(Q_2, Q_n) $ の上界を $ 2n + 2 $ を超えて改善できるか？ また、小さな $ n $ に対して正確な値は何か？
• RQ3 $ R(Q_3, Q_n) $ の上界は $ n $ に対してどのようにスケーリングされるか？ また、改善された定数を用いた線形形式で表現できるか？
• RQ4 $ m \to n $ の場合に、$ R(Q_m, Q_n) $ の一般式は存在するか？ また、二次未満の成長を支持するか？
• RQ5 $ R(Q_2, Q_3) $ の正確な値は何か？ また、さらなる再帰的上界の基本ケースとして機能するか？

主な発見

• 本論文は $ R(Q_n, Q_n) \to n^2 - n + 2 $ を確立し、従来の上界 $ n^2 + 1 $ よりも改善され、下界 $ 2n $ との差を狭めている。
• $ R(Q_2, Q_n) $ については、$ \frac{5}{3}n + 2 $ に上界が改善され、以前の $ 2n + 2 $ より顕著にきめの細かくなった。
• $ R(Q_3, Q_n) $ については、$ \frac{37}{16}n + \frac{39}{16} $ が得られ、このケースにおけるよりきめの細かい線形推定値が提供された。
• $ n \to m \to 4 $ の場合に、一般の上界が $ R(Q_m, Q_n) \to \big(m - 2 + \frac{9m - 9}{(2m - 3)(m + 1)}\big)n + m + 3 $ として導出され、漸近的成長が改善された。
• $ R(Q_2, Q_3) = 5 $ は、$ Q_5 $ における体系的なケース別解析により証明され、すべての2色塗り分けにおいて単色コピーが存在することを確認した。
• 結果は、$ m, n $ が大きい場合に $ R(Q_m, Q_n) = o(n^2) $ であるという予想を支持しており、対称的posetラマージー数が二次未満で成長することを示唆している。