[論文レビュー] Positive definite distributions and subspaces of $L_{-p}$ with applications to stable processes

Alexander Koldobsky|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 1996

Functional Equations Stability Results参考文献 6被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、負の $ p $ に対するブラシケ＝レヴィ表現の新しい解析的拡張を導入し、正定値分布を介してノルム空間を $ L_{-p} $ に埋め込む方法を定義する。$ 2 < q \leq \infty $ である $ \ell_q^n $ 空間が $ L_{-p} $ に埋め込まれるための必要十分条件は $ p \in [n-3, n) $ であり、この枠組みを用いて安定過程における新しい相関型不等式を導出し、特定の従属構造のもとで $ \mathbb{E}(\max_i |X_i|^{-p}) \geq \mathbb{E}(\max_i |Y_i|^{-p}) $ が成り立つことを示している。

ABSTRACT

We define embedding of an $n$-dimensional normed space into $L_{-p},\ 0

研究の動機と目的

• $ 0 < p < n $ の場合に、古典的なブラシケ＝レヴィ表現を $ L_p $ から $ L_{-p} $ に拡張し、$ p > 0 $ のとき $ L_p $ に埋め込めないノルム空間の解析を可能にする。
• 1938 年のショーベンの問題を $ q > 2 $ の $ \ell_q^n $ に対して解き、正定値分布を用いた $ L_{-p} $ 埋め込みの特徴付けを提供する。
• $ L_p $ の標準的手法が失敗する状況において、$ L_{-p} $ 埋め込みを用いた新しい解析的枠組みを構築し、安定過程の不等式を導出する。
• 特定の従属制約下で、対称的 $ q $-安定ベクトルのノルムの負のべきの期待値に関する相関型不等式を確立する。

提案手法

• ブラシケ＝レヴィ表現の解析的接続を用いて $ L_{-p} $ への埋め込みを定義し、古典的な $ L_p $ フレームワークを負の指数に拡張する。
• $ \|x\|^{-p} $ が $ \mathbb{R}^n $ 上で正定値分布であるときかつそのときに限り、ノルム空間が $ L_{-p} $ に埋め込まれることを確立する。
• 一般化されたボホナーの定理を用いて、$ \|x\|^{-p} $ を正規化されたテンパード測度 $ \mu $ のフーリエ変換として表現する。
• パーサバルの恒等式と $ q $-安定ベクトルの特性関数表現を適用し、$ \mathbb{E}(\|X\|^{-p}) $ を $ \mu $ を含む $ \mathbb{R}^n $ 上の積分として計算する。
• $ q \leq 2 $ のとき成り立つ不等式 $ \|a + b\|_q^q + \|a - b\|_q^q \geq 2(\|a\|_q^q + \|b\|_q^q) $ を用いて、異なる従属構造のもとでの期待値を比較する。
• 対称性と斉次性の仮定を用いて、$ \mathbb{E}(\|X\|^{-p}) $ と $ \mathbb{E}(\|Y\|^{-p}) $ の比較を測度 $ \mu $ を含む積分の比較に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ 0 < p < n $ の範囲で、$ 2 < q \leq \infty $ である $ \ell_q^n $ 空間が等長的に $ L_{-p} $ に埋め込まれるための $ p $ は何か？
• RQ2 標準的手法が使えない場合に、$ L_{-p} $ 埋め込みを用いることで、$ p > 0 $ のとき $ L_p $ に属さないノルムの安定過程の理論を拡張できるか？
• RQ3 成分に混合された従属構造がある場合に、$ q $-安定ベクトルのノルムの負のべきの期待値に対して導ける不等式は何か？
• RQ4 $ \|x\|^{-p} $ の正定値性は、$ q > 2 $ の $ \ell_q^n $ 空間の幾何学的性質とどのように関係するか？
• RQ5 指定された従属制約のもとで、$ \mathbb{E}(\|X\|^{-p}) \geq \mathbb{E}(\|Y\|^{-p}) $ が成り立つ $ p $ の範囲は何か？

主な発見

• $ 2 < q \leq \infty $ である $ \ell_q^n $ 空間が $ L_{-p} $ に埋め込まれるための必要十分条件は $ p \in [n-3, n) $ であり、1938 年のショーベンの問題の負の $ p $ の場合を解決する。
• $ 0 < p < n $ のとき、関数 $ \|x\|^{-p} $ が $ \mathbb{R}^n $ 上で正定値分布であるための必要十分条件は、ノルム空間 $ (\mathbb{R}^n, \|\cdot\|) $ が $ L_{-p} $ に等長に埋め込まれることである。
• 対称的 $ q $-安定ベクトル $ X $ と $ Y $（$ 0 < q \leq 2 $）に対して、指定された従属構造のもとで、すべての $ p \in [n-3, n) $ に対して $ \mathbb{E}(\max_{i=1,\dots,n} |X_i|^{-p}) \geq \mathbb{E}(\max_{i=1,\dots,n} |Y_i|^{-p}) $ が成り立つ。
• すべての斉次な $ n $ 次元空間で、条件 (*) を満たし、$ p \in [n-1, n) $ のとき、不等式 $ \mathbb{E}(\|X\|^{-p}) \geq \mathbb{E}(\|Y\|^{-p}) $ が成り立つ。
• $ B = \ell_q^n $ で $ n \geq 3 $、$ 2 < q \leq \infty $、$ p \in [n-3, n) $ のとき、不等式 $ \mathbb{E}(\|X\|^{-p}) \geq \mathbb{E}(\|Y\|^{-p}) $ が成り立つ。これは、従来の手法では取り扱えなかった場合にまで既知の結果を拡張する。
• $ L_{-p} $ 埋め込みを用いる手法は、標準的な $ L_p $ 手法が失敗する安定過程における相関型不等式を導出するための新しいツールを提供する。