[論文レビュー] Positive Definite Germs of Quantum Stochastic Processes

V. P. Belavkin|ArXiv.org|Dec 13, 2005

Quantum Information and Cryptography参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、量子確率的過程における確率的胚 (stochastic germs) の概念を導入し、任意の Itô 代数における正定値 (PD) 迅速の胚に基づく表現定理を確立する。主な貢献は、確率的微分の胚行列に対する擬似ヒルベルト空間への拡張であり、ポisson型ジャンプ、ウィーナー拡散、または一般の量子ノイズによって駆動される量子確率的発展方程式の一般形を提供する。

ABSTRACT

A new notion of stochastic germs for quantum processes is introduced and a characterisation of the stochastic differentials for positive definite (PD) processes is found in terms of their germs for arbitrary Ito algebra. A representation theorem, giving the pseudo-Hilbert dilation for the germ-matrix of the differential, is proved. This suggests the general form of quantum stochastic evolution equations with respect to the Poisson (jumps), Wiener (diffusion) or general quantum noise.

研究の動機と目的

• 完全正値過程の微分極限としての確率的胚の概念を定義し、任意の *-代数に一般化する。
• 正定値量子確率的過程のための確率的胚を定義し、特徴づける。
• 確率的微分の胚行列を擬似ヒルベルト空間への拡張によって表現する。
• ポアソン型、ウィーナー型、一般の量子ノイズの下での量子確率的発展方程式の記述を統一する。
• 量子確率的過程における条件付き正定値性およびコバウンダリー構造の枠組みを提供する。

提案手法

• 完全正値過程の t=0 における微分極限としての確率的胚 $\boldsymbol{\lambda} = \boldsymbol{i} + \boldsymbol{\alpha}$ を導入する。
• Itô 代数 $\mathfrak{a}$ を用いて、確率的微分 $\mathrm{d}\phi = \alpha_{\nu}^{\mu} \mathrm{d}A_{\mu}^{\nu}$ をパrameter化する。
• GNS 構成を用いて、代数 $\mathfrak{a}$ を四重項 $a_{\nu}^{\mu}$ の $*$-表現に同定する。
• 平坦写像 $\flat$ を用いて散逸形式 $\Delta(y,x)$ を定義し、その正定値性を主要な条件とする。
• 不定計量テンソル $\mathbf{G}$ を持つ擬似ヒルベルト空間 $\mathcal{E} = \mathcal{D} \oplus \mathcal{D}^\circ \oplus \mathcal{D}^\bullet$ を構成する。
• 演算子 $L$ と $\mathcal{E}$ 上の $\flat$-表現 $\jmath$ を用いて、$\boldsymbol{\lambda}(x) = L^\flat \jmath(x) L$ の表現を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正定値量子確率的過程の確率的微分は、t=0 におけるその胚としてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 確率的微分の胚行列が条件付き正定値となるための条件は何か？
• RQ3 任意の Itô 代数における確率的微分の胚行列に対して、擬似ヒルベルト空間への拡張を構成可能か？
• RQ4 胚行列の構造は、ポアソン型、ウィーナー型、一般の量子ノイズの種別とどのように関係するか？
• RQ5 コバウンダリー性と $\flat$-表現は、胚の拡張において果たす役割は何か？

主な発見

• 確率的微分の胚行列 $\boldsymbol{\lambda}$ が条件付き正定値であるための必要十分条件は、$\flat$-表現による擬似ヒルベルト空間への拡張が存在することである。
• 正定値の散逸形式 $\Delta(y,x)$ は、ユニタル $*$-表現 $j$、$(i,j)$-導分 $k$、および指定された作用素方程式を満たすコバウンダリー写像 $l$ の存在と同値である。
• 胚 $\boldsymbol{\lambda}(x)$ は、ある演算子 $L$ と擬似ヒルベルト空間 $\mathcal{E}$ 上の $\flat$-表現 $\jmath$ を用いて $L^\flat \jmath(x) L$ として表現され、拡張構造が確立される。
• この構成は、Evans-Lewis 定理を任意の Itô 代数に一般化し、量子確率的発展方程式の統一的枠組みを提供する。
• 構造 $\mathcal{D}^\bullet = \mathcal{K} \otimes \mathcal{D}$ を通じて、ポアソンジャンプ（$\alpha_{+}^{-} = D$）、ウィーナー拡散、一般の量子ノイズのケースが明示的に含まれる。
• 定理4における4つの同値条件を用いて、胚の条件付き正定値性と拡張の存在との同値性が厳密に証明されている。