[論文レビュー] Positive Eigenfunctions of Markovian Pricing Operators: Hansen-Scheinkman Factorization, Ross Recovery and Long-Term Pricing

Likuan Qin, Vadim Linetsky|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 63被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、連続時間Borel右過程と正の半マルティンゲール確率割引係数を備えたマコフ型資産評価モデルについてスペクトル理論を確立する。再発的正の固有関数の一意性を証明し、Hansen-Scheinkmanの因数分解およびRoss回復定理を一般の再発的拡散過程へ拡張し、長期満期における漸近的性質を導出し、爆発的または閉じ込められる短期金利行動を排除することで経済的に安定したダイナミクスを保証する。

ABSTRACT

This paper develops a spectral theory of Markovian asset pricing models where the underlying economic uncertainty follows a continuous-time Markov process X with a general state space (Borel right process (BRP)) and the stochastic discount factor (SDF) is a positive semimartingale multiplicative functional of X. A key result is the uniqueness theorem for a positive eigenfunction of the pricing operator such that X is recurrent under a new probability measure associated with this eigenfunction (recurrent eigenfunction). As economic applications, we prove uniqueness of the Hansen and Scheinkman (2009) factorization of the Markovian SDF corresponding to the recurrent eigenfunction, extend the Recovery Theorem of Ross (2015) from discrete time, finite state irreducible Markov chains to recurrent BRPs, and obtain the long maturity asymptotics of the pricing operator. When an asset pricing model is specified by given risk-neutral probabilities together with a short rate function of the Markovian state, we give sufficient conditions for existence of a recurrent eigenfunction and provide explicit examples in a number of important financial models, including affine and quadratic diffusion models and an affine model with jumps. These examples show that the recurrence assumption, in addition to fixing uniqueness, rules out unstable economic dynamics, such as the short rate asymptotically going to infinity or to a zero lower bound trap without possibility of escaping.

研究の動機と目的

• 一般の連続時間Borel右過程と正の半マルティンゲール確率割引係数を備えたマコフ型資産評価モデルのスペクトル理論を構築すること。
• 基礎となるマコフ過程が再発的となるような正の固有関数の一意性を確立し、経済的に意味のあるダイナミクスを保証すること。
• Hansen-Scheinkmanの確率割引係数の因数分解を、離散時間有限状態チェインにとどまらず、一般の再発的マコフ過程へ拡張すること。
• Rossの回復定理を離散時間から連続時間、一般状態空間マコフ過程へ一般化すること。
• 再発的固有測度の下での価格作用素の長期満期における漸近的性質を導出すること。

提案手法

• 確率割引係数をマコフ過程の正の乗法的関数として、ボレル可測なリターンに作用する半群として価格作用素を形式化する。
• 正の固有関数 $\pi$ に関連する固有測度 $\mathbb{Q}^\pi$ の概念を導入し、固有証券がナマラールとして機能することを示す。
• Girsanovの定理を用いて、固有測度の下での状態過程の動的構造を変換し、固有値条件を満たすと平均回帰的かつ再発的行動を示すことを保証する。
• 連続時間代数的リカチ方程式（CTARE）を用いて、ジャンプを含む・含まないアフィンおよび2次拡散モデルにおける固有関数を解く。
• 伊藤の公式およびマルティンゲール表現を用いて、$\mathbb{Q}^\pi$-局所マルティンゲール $\tilde{M}^\pi_t$ の動的構造を導出し、測度変更の有効性を保証する。
• 確率過程論の結果（Feller性、非可約性、再発性の判定基準：Tweedieの定理およびSchillingの定理など）を応用し、固有測度の下での再発性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、固有測度の下でマコフ過程が再発的となるような一意な正の固有関数が存在するか。
• RQ2 Hansen-Scheinkmanの確率割引係数の因数分解は、離散時間有限状態チェインにとどまらず、連続時間一般状態空間マコフ過程へどのように拡張可能か。
• RQ3 Rossの回復定理は、離散時間有限状態マコフ連鎖から連続時間再発的拡散過程へ一般化可能か。
• RQ4 再発的固有測度の下で、価格作用素の長期満期における漸近的性質は何か。
• RQ5 アフィンおよび2次拡散モデルにおいて、短期金利が爆発したりゼロ下限に閉じ込められるのを防ぐ条件は何か。

主な発見

• マコフ過程が固有測度の下で再発的であるという条件下で、再発的正の固有関数は一意的である。これにより、安定したダイナミクスが保証され、爆発的または閉じ込められる行動が排除される。
• Hansen-Scheinkmanの因数分解は、再発的固有関数によって一意に特徴付けられ、対称的または平方可積分な設定にとどまらず、より広い範囲に一般化可能である。
• Rossの回復定理は、連続時間一般状態空間Borel右過程へ拡張され、リスク中立的ダイナミクスから実世界確率を回復可能となる。
• アフィンおよび2次拡散モデルでは、関連するCTAREに安定化解が存在する限り、再発的固有関数の存在が保証され、ドリフト行列および拡散行列に関する明示的な条件が得られる。
• ジャンプを伴うJCIR過程では、正の遷移密度および定常分布の存在を用いて再発性が確立され、トポロジカル再発性が確認され、再発性の基準を満たす。
• 価格作用素の長期満期における漸近的性質が導出され、再発的固有関数への射影への収束が示され、これが長期的リスク中立的価格設定を支配する。