[論文レビュー] Positive energy-momentum theorem in asymptotically anti de Sitter space-times

Daniel Maerten|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2005

advanced mathematical theories参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、支配的エネルギー条件の下で、非ゼロの外在的曲率を有する漸近的に反ドシンター（AdS）双曲的多様体に対して、正のエネルギー運動量定理を確立する。これは、以前の結果を外在的曲率がゼロでない場合にまで拡張したものである。もしトラウトマン＝ボンドィ四元運動量がゼロまたは光的（null）であれば、適切な幾何的およびエネルギー的条件下で、初期データセットはミンコフスキー時空または定常的pp波時空に等長埋め込み可能であることが示された。

ABSTRACT

This paper proves a positive energy-momentum theorem for oriented Riemannian 3-manifolds that are asymptotic to a standard hyperbolic slice in anti de Sitter space-time. Analogously to the original Witten's proof in the asymptotically flat case, this result relies on spinorial methods. We also give a rigidity theorem: if the energy-momentum is degenerate (in a certain sense) then our 3-manifold can be isometrically embedded in anti de Sitter.

研究の動機と目的

• AdS設定下で、非ゼロの外在的曲率を有する漸近的に双曲的多様体に対する正の質量定理を拡張すること。
• 支配的エネルギー条件の下で、トラウトマン＝ボンドィ四元運動量の剛性結果を確立すること。
• 運動量条件に基づいて、初期データセットがミンコフスキー時空またはpp波時空に等長埋め込み可能である条件を特定すること。
• 漸近的に平坦な場合のスピンorial手法を、AdS漸近的双曲的文脈に一般化すること。

提案手法

• 制約写像とその形式的随伴を用いて、線形制約写像の線形化の随伴の核上でのエネルギー運動量を線形形式として定義する。
• 制約写像の第一変分を用いた変分的アプローチを適用し、無限遠における境界積分を含むエネルギー運動量の表現を得る。
• スピンorialガウス＝コダージュ方程式と平行スピンォルフィールドの存在を用いて、真空初期データセットを特徴付ける。
• キリング初期データ（KID）とキリング発展手順に依存して、時空拡張を構成する。
• 支配的エネルギー条件と漸近的減衰条件（τ > n/2 のとき O(e^{-τr})）を用いて、エネルギー運動量の可積分性と有限性を保証する。
• コhomological議論と幾何解析を用いて、運動量がゼロまたは光的である場合に、ミンコフスキー時空またはpp波時空への等長埋め込みが成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、非ゼロの外在的曲率を有するAdS漸近的双曲的多様体のエネルギー運動量が、正のエネルギー定理を満たすか？
• RQ2 トラウトマン＝ボンドィ四元運動量がゼロであるとき、初期データセットがミンコフスリー時空に等長埋め込み可能であるとはどのような条件か？
• RQ3 どのような幾何的および物理的条件が、光的トラウトマン＝ボンドィ四元運動量がpp波時空におけるキリング発展をもたらすか？
• RQ4 スピンorial手法をどのようにAdS漸近的双曲的文脈に適応させ、剛性定理を証明できるか？
• RQ5 支配的エネルギー条件は、エネルギー運動量関数の正値性と可積分性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• トラウトマン＝ボンドィ四元運動量がゼロであれば、初期データセット (M,g,k) はミンコフスキー時空に等長埋め込み可能である。
• トラウトマン＝ボンドィ四元運動量が光的（null）であれば、初期データセットは定常的pp波時空に等長埋め込み可能である。
• ∇-平行スピンォルフィールドが ⟨Rξ,ξ⟩=0 を満たすことは、光的運動量のケースを特徴付けるものであり、これにより真空キリング発展が得られる。
• 境界項における e と k の可積分性の下で、エネルギー運動量は Ker dΦ*_{(b,0)} 上の線形形式として適切に定義される。
• スピンォルフィールドから得られる真空KID（V,W）の存在に依存しており、V = ⟨ξ,ξ⟩ かつ W = −α^♯ である。
• 初期データのキリング発展が、運動量条件に応じてミンコフスリー時空またはpp波時空であることが示された。