[論文レビュー] Positive energy unitary irreducible representations of D=6 conformal supersymmetry

V. K. Dobrev|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2002

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、D=6 超共形代数 $\mathfrak{osp}(8^{*}/2N)$ の正エネルギー単位的不可約表現（UIR）の構成的分類を、ノルムの明示的計算によって単位的性を検証することにより提供する。$N=1,2$ の場合にミンヴァラの予想のうち1つを除き確認し、UIRの完全なリストを確立するとともに、4つの例外的UIRにおけるゼロノルム状態を同定し、それらの完全な還元を実現した。

ABSTRACT

We give a constructive classification of the positive energy (lowest weight) unitary irreducible representations of the D=6 superconformal algebras osp(8*/2N). Our results confirm all but one of the conjectures of Minwalla (for N=1,2) on this classification. Our main tool is the explicit construction of the norms of the states that has to be checked for positivity. We give also the reduction of the exceptional UIRs.

研究の動機と目的

• 任意の $N$ に対して、$D=6$ 超共形代数 $\mathfrak{osp}(8^{*}/2N)$ の正エネルギー単位的不可約表現（UIR）の厳密で構成的な分類を提供すること。
• Verma加群上のシャポバロフノルムの明示的計算とその正定性の確認により、UIRの単位的性を検証すること。
• 特にミンヴァラによる $N=1,2$ の場合の予想を、完全で明示的なUIRリストの提供により解決すること。
• 特に4つの例外的UIRにおいて、例外的点におけるゼロノルム状態の同定と除去を行い、還元された表現の単位的性を保証すること。

提案手法

• 複素化された超代数 $\mathfrak{osp}(8/2N)$ 上のVerma加群におけるシャポバロフ形式を用い、三角分解 $\mathfrak{G}^{\mathbb{C}} = \mathfrak{G}^{+} \oplus \mathfrak{H} \oplus \mathfrak{G}^{-}$ を用いて最低重量表現を定義する。
• ルート系の構造とディンキンラベルを用いて、状態のノルムの二乗を明示的に構成し、非因数化可能な状態には再帰的公式、完全に因数化可能な状態には閉じた形の式を用いる。
• ノルムの正定性を体系的にチェックすることで、どの表現が単位的であるかを特定し、単位的性の主な基準とする。
• 例外的ケースでは、ディンキンラベル $\varepsilon_{i\hat{j}}$ と $\nu_{i\hat{j}}$ における明示的条件を通じてゼロノルム状態を同定し、それらを除去することで単位的不可約表現が得られることを保証する。
• 特に $N=1$ および $N>1$ で $a_1=0$ の場合に、ゼロノルム状態を除去した後の還元表現における状態の数を詳細に数える。
• 結果は、特にミンヴァラの予想を含む既存の予想と照合され、明示的な表記の一致が提供される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの最低重量表現が $\mathfrak{osp}(8^{*}/2N)$ の単位的であり、どのように体系的に分類できるか？
• RQ2 $D=6$ 超共形対称性における $N=1,2$ の場合にミンヴァラが提案したUIRの予想は、ノルムに基づく構成的検証のもとで成立するか？
• RQ3 例外的点におけるゼロノルム状態の構造は何か？ そしてそれらは表現の単位的性にどのように影響するか？
• RQ4 4つの例外的UIRにおいて、すべてのゼロノルム状態を除去した後、物理的状態はいくつ残るか？
• RQ5 特に $a_1=0$ の場合の還元された単位的表現における明示的な状態数は何か？

主な発見

• 本稿は、$N=1,2$ の場合にミンヴァラの $D=6$ 超共形UIR分類に関する予想のうち1つを除き、完全で構成的な証明により確認した。
• $N=1$ および $a_1=0$ の場合、例外的点 $d = d^{-}_{41}$、$n_1=n_2=n_3=0$ において、還元された表現は自明であり、すべてのゼロノルム状態を除去した後、物理的状態は1つだけが残る。
• $a_{\hat{k}} \neq 0$ の場合の例外的点におけるゼロノルム状態の数は $2^{8N-2}$ であり、還元された表現における物理的状態の数は $2^{8N-4}$ である。
• 完全に因数化可能な状態の明示的ノルム公式が与えられ、非因数化可能な状態についてはノルムが再帰的に定義される。
• 例外的点 $d = d^{-}_{41}$、$n_1=n_2=n_3=0$ および $a_1 \neq 0$ の場合、$\Psi_{\bar{\varepsilon},0}$ 形式の16個の状態が存在し、真空を除くすべてがゼロノルムである。
• すべての例外的ケースを含めたゼロノルム状態の総数は、$N=1$、$a_1=0$ の場合に $2^8 - 1 = 255$ であり、還元された表現には物理的状態が1つだけが残る。