[論文レビュー] Positive mass theorem and the boundary behaviors of compact manifolds with nonnegative scalar curvature

Yuguang Shi, Luen-Fai Tam|ArXiv.org|Jan 7, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、非負のスカラー曲率と厳密に凸な境界をもつコンパクトなリーマン3次元多様体に対して境界不等式を確立し、境界の平均曲率の積分が、ユークリッド空間への等長埋め込みにおけるそれの上限を超えることはないことを示している。リーマン的平坦でリプシッツな多様体に対する一般化された正の質量定理を用いて、等号が成立するのは、多様体がユークリッド空間内の領域と等長である場合に限ることを証明しており、境界の幾何学と全空間のスカラー曲率制約を結びつけ、ADM質量の非負性を回復している。

ABSTRACT

In this paper, we study the boundary behaviors of compact manifolds with nonnegative scalar curvature and with nonempty boundary. Using a general version of Positive Mass Theorem of Schoen-Yau and Witten, we prove the following theorem: For any compact manifold with boundary and nonnegative scalar curvature, if it is spin and its boundary can be isometrically embedded into Euclidean space as a strictly convex hypersurface, then the integral of mean curvature of the boundary of the manifold cannot be greater than the integral of mean curvature of the embedded image as a hypersurface in Euclidean space. Moreover, equality holds if and only if the manifold is isometric with a domain in the Euclidean space. Conversely, under the assumption that the theorem is true, then one can prove the ADM mass of an asymptotically flat manifold is nonnegative, which is part of the Positive Mass Theorem.

研究の動機と目的

• 非負のスカラー曲率と空でない境界をもつコンパクトリーマン多様体の境界挙動を調査すること。
• 多様体の境界における平均曲率の積分と、それがユークリッド空間への等長埋め込みにおけるそれとを比較する幾何学的不等式を確立すること。
• この不等式の有効性が、漸近的に平坦な多様体におけるADM質量の非負性と同値であることを示すこと。
• 幾つかのグリューリング構成から生じるリプシッツ計量をもつ多様体のクラスに、正の質量定理を拡張すること。

提案手法

• 原典のコンパクト多様体と第二の多様体とを、共通境界に沿って、フォリエーションに基づく構成により貼り合わせることで、リプシッツ的漸近的に平坦な多様体を構成する。
• 貼り合わせられた境界での平均曲率を一致させるために放物型偏微分方程式を解き、内部でのメトリクスの滑らかさを保証する。
• 得られたリプシッツ多様体に対して、非負のスカラー曲率と漸近的に平坦な端を持つ一般化された正の質量定理を証明する。
• 多様体内の部分多様体としての境界における平均曲率の積分と、ユークリッド空間内でのそれとの差の単調性を用いる。
• 第一変分公式とガウス方程式を用いて、漸近的に平坦領域内の大きな球面における平均曲率とガウス曲率を推定する。
• 計量の漸近的展開を用いて、大きな球面の面積と平均曲率を計算し、∫H dσ ≈ 8π(r + m) および ∫H₀ dσ ≈ 8π(r + m) が成り立つことを示し、m ≥ 0 を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負のスカラー曲率をもつコンパクト3次元多様体の境界平均曲率は、ユークリッド空間への等長埋め込みにおけるそれの上界で抑えられるか？
• RQ2 平均曲率の積分不等式における等号が成立する条件は何か？ その場合、多様体がユークリッド空間内の領域と等長であることを示すには？
• RQ3 漸近的に平坦な多様体におけるADM質量の非負性は、非負のスカラー曲率をもつコンパクト多様体における境界平均曲率不等式と同値か？
• RQ4 幾何的グリューリング構成から生じるリプシッツ計量をもつ多様体に対して、正の質量定理を拡張できるか？
• RQ5 スピン構造は、高次元への境界平均曲率不等式の拡張において、どのような役割を果たすか？

主な発見

• 任意の境界をもつコンパクト3次元多様体が非負のスカラー曲率をもつとき、各境界成分が正のガウス曲率と平均曲率をもてば、∫_Σᵢ H dσ ≤ ∫_Σᵢ H₀^(i) dσ が成り立ち、ここで H₀^(i) は ℝ³ への等長埋め込みにおける平均曲率である。
• 任意の境界成分について不等式における等号が成立するのは、多様体が単一の境界成分しか持たず、かつ ℝ³ 内の領域と等長である場合に限る。
• 境界成分が ℝⁿ 内の厳密に凸な超曲面であり、多様体がスピンであるという仮定の下で、この結果は高次元へ拡張可能である。
• 境界平均曲率不等式の有効性は、非負のスカラー曲率をもつ漸近的に平坦な多様体におけるADM質量の非負性を示す。
• 大きな球面上での多様体内とユークリッド空間内における平均曲率の積分の漸近的挙動を比較することで、ADM質量が非負であることが示され、極限において m ≥ 0 が得られる。
• 証明は、グリューリングによるリプシッツ的漸近的に平坦な多様体の構成と、そのような空間における正の質量定理の証明に依存しており、主要な推定は ∫H dσ = 8π(r + m) + O(r⁻¹) および ∫H₀ dσ = 8π(r + m) + O(r⁻¹) であり、これにより m ≥ 0 が導かれる。