[論文レビュー] Positive operator measures, generalised imprimitivity theorem, and their applications

Alessandro Toigo|ArXiv.org|May 30, 2005

Holomorphic and Operator Theory参考文献 42被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文は、一般化された非自明性定理を用いて、共変な正の作用素測度（POM）の包括的な数学的特徴付けを提供し、群の対称性の下でPOMが一貫して変換されるための条件を確立する。主な貢献は、アーベル群およびコンパクト安定化群のユニタリまたは射影的ユニタリ表現に関して共変であるPOMの完全分類であり、スペクトル測度の制限を超えて、量子力学における位相観測量、位置運動量同時観測量、局在化観測量の厳密な記述を可能にする。

ABSTRACT

Given a topological group $G$ and a unitary representation $U$ of $G$, we consider the problem of classifying the positive operator measures which are based on a $G$-homogeneous space $X$ and covariant with respect to the representation $U$. We completely solve the problem in two cases: 1) when $G$ is abelian; 2) when $G$ is not abelian, $X$ has compact stbiliser in $G$ and the representation $U$ is irreducible. We then give an application of the above results to the characterisation of covariant position and momentum observables in quantum mechanics, and to the determination of those covariant position and momentum observables that are jointly measurable.

研究の動機と目的

• 位相や光子の局在化といった物理的観測量を記述するにあたり、自己随伴作用素の限界を克服すること。
• 群の対称性の下で共変であるPOMを特徴付けることにより、スペクトル測度を超えた量子測定理論の拡張。
• 特にアーベル群および安定化群がコンパクトである場合を含め、群作用に基づくPOMの完全な数学的分類の提供。
• 非相対論的および相対論的量子系における位相、位置、運動量といった物理的観測量への応用。
• 位置と運動量の観測量が同時に測定可能であるための条件を明らかにし、不確定性原理と関連付けること。

提案手法

• 一般化された非自明性定理を用いて、共変POMの構造を群の誘導ユニタリ表現に関連付ける。
• 抽象調和解析およびプランシュレ理論を適用して、特にアーベル群およびコンパクト安定化群の場合の誘導表現を対角化する。
• 双対群およびフーリエ解析の技術を用いて、アーベルの場合のPOMを分類し、双対群上の測度による明示的パラメータ化を導出する。
• 誘導表現の構造を用いてPOMの明示的形を導出し、アーベル群に対しては式 (2.11)、射影的表現に対しては式 (3.7) を得る。
• ガリレオ群に適用して、並進、ブースト、スケーリングに関して共変な位置と運動量の観測量を定義する。
• 関連する確率測度の関数的共存およびフーリエ結合の分析を通じて、位置と運動量の同時測定可能性の条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群のユニタリ表現に関して共変であるPOMが、どのように完全に特徴付けられるか。
• RQ2 量子電磁力学における位相観測量の数学的構造は何か。また、スペクトル測度とはどのように異なるか。
• RQ3 位置と運動量の観測量が同時に測定可能であるための条件は何か。また、不確定性原理とどのように関係するか。
• RQ4 安定化群がコンパクトである射影的ユニタリ表現を用いて、共変な位相空間観測量を分類することは可能か。
• RQ5 一般化された非自明性定理は、誘導表現の対角化およびPOMの構成において、どのように機能するか。

主な発見

• アーベル群の場合、任意のトランスティーブG空間上のすべての共変POMは、双対群上の測度によって完全に特徴付けられ、式 (2.11) で明示的に表現される。
• 安定化群がコンパクトで、表現が既約な射影的である場合、POMはプランシュレ理論を用いて分類され、式 (3.7) でコンパクトな表現が得られる。
• 電磁場の位相観測量は、自己随伴作用素によって表現できない非スペクトル的POMとして厳密に記述され、長年の問題であった非表現可能性の問題が解決される。
• 非相対論的量子力学における位置と運動量の観測量は、等時的ガリレオ群に関して完全に共変であることが特徴付けられ、その構造は測度ρとνによって決定される。
• 位置と運動量の観測量の同時測定可能性は、それらに関連する確率測度がフーリエカップルを形成することと同値であることが示され、命題 5.2.2 で示される。
• 共変位相空間観測量でない同時観測量が存在するかどうかは、現在の枠組み下では未解決の問題であり、そのような例はまだ知られていない。