[論文レビュー] Positive Opetopes with Contractions form a Test Category

Marek Zawadowski|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、正のオペトープの圏に縮約射（面写像と選択された退化写像）を加えたもの——すなわち、${\bf pOpe}_{\iota}$——がテスト圏であることを確立している。著者らは、プレシェーブ圏における区間対象と積をなすようになるシリンダ関手を構成することで、この圏がホモトピー型をモデル化することを証明し、$Δ$ が高次元圏論における基礎的役割を果たすのを拡張している。

ABSTRACT

We show that the category of positive opetopes with contraction morphisms, i.e. all face maps and some degeneracies, forms a test category. The category of positive opetopic sets pOpeSet can be defined as a full subcategory of the category of polygraphs Poly. An object of pOpeSet has generators whose codomains are again generators and whose domains are non-identity cells (i.e. non-empty composition of generators). The category pOpeSet is a presheaf category with the exponent being called the category of positive opetopes pOpe. Objects of pOpe are called positive opetopes and morphisms are face maps only. Since Poly has a full-on-isomorphisms embedding into the category of omega-categories oCat, we can think of morphisms in pOpe as omega-functors that send generators to generators. The category of positive opetopes with contractions pOpe_iota has the same objects and face maps pOpe, but in addition it has some degeneracy maps. A morphism in pOpe_iota is an omega-functor that sends generators to either generators or to identities on generators. We show that the category pOpe_iota is a test category.

研究の動機と目的

• 正のオペトープに縮約射を加えた圏がテスト圏であることを確立すること。
• オペトープ的集合のホモトピカル枠組みに $ι$-写像を用いて退化写像を含めるように拡張すること。
• この拡張された圏上のプレシェーブ圏が、シリンダ関手を用いてホモトピー型をモデル化することを示すこと。
• プレシェーブ圏におけるシリンダ構成が、区間対象と積をなすことを確認し、テスト圏の公理を満たすようにすること。
• オペトープに縮約を加えたものに基づく、高次元代数およびホモトピー論の圏論的基盤を提供すること。

提案手法

• 生成子から生成子または生成子上の恒等写像に写す特定の退化写像（$\iota$-写像）を追加することで、${\bf pOpe}$ の拡張として圏 ${\bf pOpe}_{\iota}$ を定義する。
• ${\bf pOpe}$ におけるフラグ、パuncturedフラグ、およびオペトープ上の後続作用を用いて、プレシェーブ圏 $\widehat{{\bf pOpe}}$ 上のシリンダ関手 ${\bf Cyl}_p$ を構成する。
• ${\bf Cyl}_p(P)$ がストレート対象であることを証明し、テスト圏のための必要な条件を満たすことを保証する。
• 包含写像 $\kappa: {\bf pOpe} \to {\bf pOpe}_{\iota}$ 沿いの左カルン拡張を用いて、シリンダ関手を $\widehat{{\bf pOpe}_{\iota}}$ に拡張し、それが区間 $I$ との積と同型であることを示す。
• ${\bf Cyl}_{\iota}(P)$ が積条件を満たすことを、シリンダの普遍性および ${\bf pHg}_{\iota}$ の $\widehat{{\bf pOpe}_{\iota}}$ への全単射埋め込みを用いて検証する。
• 正のオペトープ的カードナリウムおよびハイパーグラフに関する先行研究の結果を活用し、面写像、核、および $\iota$-写像による定義域保存に関する技術的補題を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正のオペトープに縮約射を加えた圏が、テスト圏の公理を満たすか？
• RQ2 $\widehat{{\bf pOpe}}$ 上のシリンダ関手が $\widehat{{\bf pOpe}_{\iota}}$ 上に拡張可能であり、それが区間対象 $I$ との積と同型になるか？
• RQ3 $\iota$-写像（縮約射）は、オペトープの定義域および余定義域構造を、ホモトピー的モデル化を可能にする形で保存するか？
• RQ4 $\kappa: {\bf pOpe} \to {\bf pOpe}_{\iota}$ 沿いのシリンダ関手の左カルン拡張が、${\bf Cyl}_{\iota}(P)$ がストレート対象であることを保証するのに十分か？
• RQ5 ${\bf pOpe}_{\iota}$ は、$Δ$ と同様に、そのプレシェーブ圏を用いてホモトピー型をモデル化する基盤として機能できるか？

主な発見

• ${\bf pOpe}_{\iota}$ である正のオペトープに縮約射を加えた圏は、ホモトピー型をモデル化するのに必要な条件を満たすため、テスト圏である。
• $\widehat{{\bf pOpe}_{\iota}}$ 内のシリンダ関手 ${\bf Cyl}_{\iota}(P)$ は、1次元のオペトープ $I$ との積 $I \times P$ と同型であり、積構造が確認された。
• $\kappa: {\bf pOpe} \to {\bf pOpe}_{\iota}$ 沿いのシリンダ関手の左カルン拡張は、余極限、代表的対象、および単射を保存するため、拡張が適切に定義されている。
• ${\bf Cyl}_p(P)$ は $\widehat{{\bf pOpe}}$ 内のストレート対象であり、これはテスト圏の性質を満たすために必要な重要な要件である。
• シリンダの面に定義された写像 $H$ は、定義域および余定義域を保存し、面集合に一対一対応を誘導するため、積構造と整合的である。
• ${\bf pHg}_{\iota}$ の $\widehat{{\bf pOpe}_{\iota}}$ への埋め込みは、射集合上で全単射であるため、シリンダの普遍性がプレシェーブ圏へと持ち上がることが可能である。