[論文レビュー] Positive polynomials in scalar and matrix variables, the spectral theorem and optimization

J. William Helton, Mihai Putinar|ArXiv.org|Dec 4, 2006

Matrix Theory and Algorithms参考文献 108被引用数 45

ひとこと要約

本稿は非可換実代数幾何学の観点から、正の多項式、スペクトル定理、最適化を統合し、半代数的集合上で正である行列値多項式が二乗和分解をもつこと、および線形行列不等式（LMI）として表現可能であることを示している。主な貢献は、正性証明とLMIの可解性を結びつける構成的枠組みを提供することであり、これにより効率的な最適化および制御応用が可能になる。

ABSTRACT

We follow a stream of the history of positive matrices and positive functionals, as applied to algebraic sums of squares decompositions, with emphasis on the interaction between classical moment problems, function theory of one or several complex variables and modern operator theory. The second part of the survey focuses on recently discovered connections between real algebraic geometry and optimization as well as polynomials in matrix variables and some control theory problems. These new applications have prompted a series of recent studies devoted to the structure of positivity and convexity in a free *-algebra, the appropriate setting for analyzing inequalities on polynomials having matrix variables. We sketch some of these developments, add to them and comment on the rapidly growing literature.

研究の動機と目的

• 非可換正性の観点から、関数解析学、代数幾何学、最適化における古典的正性概念を統合すること。
• 制御理論および最適化にとって重要な行列多項式の正性と線形行列不等式（LMI）の間の橋渡しを確立すること。
• 次元に依存しないおよび次元に依存する正性の理論的枠組みを自由$*$-代数において構築し、アルゴリズム的解決を可能にすること。
• 工学的および数学的最適化問題への非可換正性の教育的・応用的基盤を提供すること。
• 代数的正性と数値的可解性のギャップを、二乗和とLMI表現の接続によって解消すること。

提案手法

• ヒルベルト空間におけるスペクトル定理と正性基準を用いて、非可換変数における多項式の正性を分析する。
• 自由$*$-代数における行列多項式のPositivstellensatzを適用し、二乗和による正性の証明を行う。
• 多項式係数が$a$に関して多項式で、$x$に関して線形である行列値線形ペンシル$\mathcal{L}(a)[x]$を構成し、そのシュール補行列が元の多項式$P(a,x)$に一致するようにする。
• 正の測度と多項式の正性の間のモーメント双対性を用いて、非負性の代数的証明を導出する。
• 2次項の構造とその正定値行列$M(a)$による表現を活用して、行列不等式問題をLMI形式に還元する。
• 非可換多項式恒等式および単純化を処理するため、NCAlgebraやNCGBなどの記号計算ツールを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換変数における行列多項式の正性は、代数的二乗和を用いてどのように証明できるか？
• RQ2 行列多項式が半代数的集合上で正である場合、自由$*$-代数における二乗和としての表現が可能となる条件は何か？
• RQ3 行列不等式$P(a,x) > 0$が変数$a$に関して線形行列不等式（LMI）に同値に再定式化可能な状況はどのようなものか？
• RQ4 基礎となる行列変数の次元が、正性とLMI表現可能性の同値性に与える影響は何か？
• RQ5 スペクトル定理とモーメント問題は、非可換多項式において関数解析学と実代数幾何学をどのように結びつけるか？

主な発見

• 半代数的集合上で正である行列多項式は、自由$*$-代数において二乗和分解をもち、正性の代数的証明を提供する。
• 変数$x$に関して2次以下の行列多項式については、正定値行列$M(a)$を用いて正性を証明でき、これによりLMIの構築が可能になる。
• 多項式係数が$a$に関して多項式で、$x$に関して線形である線形行列ペンシル$\mathcal{L}(a)[x]$を構成でき、そのシュール補行列が$P(a,x)$に一致するようにする。これにより、元の不等式と同値になる。
• 2次部分$P^{II}(a,x)$に対してPositivstellensatzが成り立つ場合、多項式LMI表現が存在し、標準的なSDPソルバーを用いた数値的解法が可能になる。
• 次元に依存しない設定では、行列多項式の正性とLMI表現可能性が同値であるが、次元に依存する場合には追加の凸性制約のため、この同値性は成立しない。
• GloptiPoly、SeDuMi、NCAlgebraなどのソフトウェアツールを活用することで、本枠組みは実用的な実装が可能となり、最適化および制御応用を促進する。