[論文レビュー] Positive Scalar Curvature and Minimal Hypersurface Singularities

Richard Schoen, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、特異点を克服するための重み付き最小切断を用いて、任意次元における正のスカラー曲率の多様体の分類と正の質量定理の証明を、最小超曲面法の拡張によって達成する。特異点集合のハウスドルフ余次元が少なくとも3以上であることを確立し、この手法が次元2まで適用可能であり、スピン条件を仮定せずに正の質量定理を証明できることが示された。

ABSTRACT

In this paper we develop methods to extend the minimal hypersurface approach to positive scalar curvature problems to all dimensions. This includes a proof of the positive mass theorem in all dimensions without a spin assumption. It also includes statements about the structure of compact manifolds of positive scalar curvature extending the work of \cite{sy1} to all dimensions. The technical work in this paper is to construct minimal slicings and associated weight functions in the presence of small singular sets and to show that the singular sets do not become too large in the lower dimensional slices. It is shown that the singular set in any slice is a closed set with Hausdorff codimension at least three. In particular for arguments which involve slicing down to dimension $1$ or $2$ the method is successful. The arguments can be viewed as an extension of the minimal hypersurface regularity theory to this setting of minimal slicings.

研究の動機と目的

• 特異点が最小超曲面に及ぼす障害により、次元8より高い次元においても、正のスカラー曲率問題に対する最小超曲面法を拡張すること。
• ハウスドルフ次元が制御された特異点集合を組み込んだ、最小k-切断の理論を構築すること。
• スピン条件を仮定せずに、すべての次元における正の質量定理を証明すること。
• コホノロジー類と最小2-切断を用いて、正のスカラー曲率のための位相的障害を一般化すること。
• 小さな特異点集合が存在する場合の重み付き最小切断について、正則性およびコンパクトネスの定理を確立すること。

提案手法

• 最小k-切断を、第二変分形式の正の第一固有関数を用いた重み付き体積の再帰的最小化によって構成する。
• 特異点集合が小さい場合でも安定した振る舞いを示す、修正された第二変分形式 $ Q_j $ を導入する。
• 重み付き $ L^2 $ 範囲と固有関数を用いて、進化的な重み $ \rho_j $ を定義し、スライス間での幾何の積分的制御を保証する。
• スケーリングおよびモニトニシティ定理（体積および周波数）を適用し、特異点を解析し、特異点集合が同次的錐であることを証明する。
• 最小k-切断のコンパクトネス定理を用いて、$ \Sigma_k $ における特異点集合のハウスドルフ次元が $ k-3 $ 以下であることを示す。
• エンドをカッティングし、Lohkampの観察を応用して非負のスカラー曲率を持つ計量を構成することで、正の質量定理をコンパクトケースに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小超曲面法は、最小超曲面に特異点が存在する場合でも、すべての次元に拡張可能か？
• RQ2 最小k-切断における特異点集合の最大可能なハウスドルフ次元は何か？ そして、これは低次元スライスの正則性にどのように影響するか？
• RQ3 スピン条件を仮定せずに、すべての次元における正の質量定理を証明可能か？
• RQ4 $ H^1(M,\mathbb{Z}) $ 内のコホノロジー類は、正のスカラー曲率計量の存在を妨げるか？
• RQ5 最小k-切断における最終的な2スライスが、滑らかな2次元球面の直和であるための条件は何か？

主な発見

• 任意の最小k-切断における特異点集合のハウスドルフ次元は、$ k-3 $ 以下である。これは、次元1および2における正則性を保証する。
• 任意の最小2-スライスに対して、2次元スライス $ \Sigma_2 $ は、各々がガウス・ボンネットの定理を満たす、互いに交わらない2次元球面の直和に微分同相である。
• スピン条件を仮定せずに、すべての次元における正の質量定理が成り立つ。ADM質量は非負であり、質量が0であるのは、多様体が $ \mathbb{R}^n $ に等長である場合に限る。
• もし $ \alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1} \in H^1(M,\mathbb{Z}) $ が基本類と非自明に交わるならば、$ M $ は正のスカラー曲率計量をもつことはできない。
• $ \Sigma_2 $ が $ H_2(M,\mathbb{Z}) $ 内で非自明なクラスを代表する最小2-スライスが存在するならば、$ \Sigma_2 $ は滑らかな2次元球面の直和であり、任意の他の $ \alpha_{n-1} \in H^1(M,\mathbb{Z}) $ はこのクラスと自明にペアリングする。