[論文レビュー] Positive scalar curvature on foliations

Weiping Zhang|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、アディアバティック極限の手法と準等長的フォリエーションにおけるサブディラック作用素を導入することで、LichnerowiczおよびHitchinの正スカラー曲率に関する定理をフォリエーションを持つスピン多様体へ一般化する。もし閉じたスピン多様体が正葉方向スカラー曲率を持つフォリエーションを備えているならば、その$\widehat{\mathcal{A}}$- genus は消えることが証明され、その結果、トーラスにはこのようなフォリエーションが存在しない——これは古典的な正スカラー曲率計量の非存在結果を拡張するものである。

ABSTRACT

We generalize classical theorems due to Lichnerowicz and Hitchin on the existence of Riemannian metrics of positive scalar curvature on spin manifolds to the case of foliated spin manifolds. As a consequence, we show that there is no foliation of positive leafwise scalar curvature on any torus, which generalizes the famous theorem of Schoen-Yau and Gromov-Lawson on the non-existence of metrics of positive scalar curvature on torus to the case of foliations. Moreover, our method, which is partly inspired by the analytic localization techniques of Bismut-Lebeau, also applies to give a new proof of the celebrated Connes vanishing theorem without using noncommutative geometry.

研究の動機と目的

• スピン多様体上の正スカラー曲率計量に関する古典的結果をフォリエーション多様体の設定へ拡張すること。
• フォリエーション上に正葉方向スカラー曲率が存在する場合、その総体多様体上でも正スカラー曲率が成立するかどうかという未解決問題に取り組むこと。
• 非可換幾何学を用いない新しい解析的証明を提示し、Connesの消去定理を再証明すること。
• スピン多様体の可積分な部分バンドル上で正葉方向スカラー曲率が成り立つ場合の$\widehat{\mathcal{A}}$- genus の消去結果を確立すること。

提案手法

• アディアバティック極限の技法を用いて、フォリエーション多様体上にほぼ等長なファイブレーションを構成する。
• スピン可積分部分バンドルおよびそのねじれバージョンに対応するサブディラック作用素を導入する。
• アティヤ＝サインター指数定理を適用し、零次可換楕円型擬微分作用素のmod 2指数を計算する。
• ビスマール＝レボーにインspiredされた解析的局所化技法を用いて、サブディラック作用素の核を制御する。
• 核の次元がmod 2で計算されるような作用素族$\widehat{P}_{R,\beta,\varepsilon}$を構成する。
• 大規模な$R, \beta, \varepsilon$における核次元の消去を用いて、$\alpha$-不変量および$\widehat{\mathcal{A}}$- genus の消去を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じたスピン多様体のフォリエーション上に正葉方向スカラー曲率を持つ計量が存在する場合、その総体多様体の$\widehat{\mathcal{A}}$- genus が消えるかどうか。
• RQ2 トーラス上での正スカラー曲率の古典的非存在結果がフォリエーションの設定へ拡張可能かどうか。
• RQ3 非可換幾何学や循環コhomologyに依存せずに、フォリエーションに対するConnesの消去定理を証明可能かどうか。
• RQ4 スピン多様体の可積分部分バンドル上に正葉方向スカラー曲率が存在するための位相的障害は何か。
• RQ5 本稿で用いられた指数論的技法を、正規バンドルの高次のポントリャーギン類を含むように一般化可能かどうか。

主な発見

• 閉じたスピン多様体$M$が正葉方向スカラー曲率を持つフォリエーション$F$を備えているならば、$\widehat{\mathcal{A}}(M) = 0$が成り立ち、LichnerowiczおよびHitchinの定理が一般化される。
• 任意のトーラス$T^n$には正葉方向スカラー曲率を持つフォリエーションが存在しない。これはSchoen-YauおよびGromov-Lawsonの非存在結果を拡張する。
• 非可換幾何学や循環コhomologyを用いない新しい解析的証明により、Connesの消去定理が確立された。
• 大規模なパrameterに対して、特定の零次可換楕円型擬微分作用素$\widehat{P}_{R,\beta,\varepsilon}$のmod 2指数が消えることから、$\alpha(M) = 0$が導かれる。
• 任意の整数$k \geq 0$に対して、正葉方向スカラー曲率の条件下で$\left\langle \widehat{A}(F) p(TM/F) e(TM/F)^k, [M] \right\rangle = 0$が成り立つ。
• 特に、$\left\langle \widehat{A}(F) e(TM/F), [M] \right\rangle = 0$であり、$\dim M = 6$, $\operatorname{rk}(F) = 4$のとき、$\left\langle e(TM/F)^3, [M] \right\rangle = 0$が成り立ち、これは$\mathbb{C}P^3$に正葉方向スカラー曲率のcodimension-twoフォリエーションが存在しないことを示唆する。