[論文レビュー] Positive semiclassical states for a fractional Schrödinger-Poisson system

Edwin G. Murcia, Gaetano Siciliano|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^N$ 上の分数マクロなシュレーディンガー＝ポアソン系に対して、$\varepsilon \to 0^+$ における半古典的極限を分析することにより、複数の正の半古典的状態の存在を確立する。変分法とリューステルニック＝シュナイレルマンのカテゴリー理論を用いて、非線形性および分数パラメータに適切な仮定を置くと、正の解の数はポテンシャル $V(x)$ の極小点の集合のカテゴリーによって下から抑えられることを証明する。

ABSTRACT

We consider a fractional Schrödinger-Poisson system in the whole space $\mathbb R^{N}$ in presence of a positive potential and depending on a small positive parameter $\varepsilon.$ We show that, for suitably small $\varepsilon$ (i.e. in the "semiclassical limit") the number of positive solutions is estimated below by the Ljusternick-Schnirelmann category of the set of minima of the potential.

研究の動機と目的

• $\mathbb{R}^N$ 上の二重に特異的摂動を受ける分数マクロなシュレーディンガー＝ポアソン系に対して、複数の正の解の存在を確立すること。
• 量子力学から古典力学への遷移に対応する $\varepsilon \to 0^+$ における半古典的極限を分析すること。
• リューステルニック＝シュナイレルマンのカテゴリーを用いて、ポテンシャルの極小点集合の位相的複雑さと正の解の数を関連付けること。
• 非有界領域における非局所的（分数）作用素および非局所方程式に、変分法を拡張すること。

提案手法

• 分数マクロなシュレーディンガー＝ポアソン系を $\varepsilon^{2s}(-\Delta)^s w + V(x)w + \psi w = f(w)$ および $\varepsilon^{\theta}(-\Delta)^{\alpha/2}\psi = \gamma_\alpha w^2$ として定式化する。
• エネルギー汎関数 $I_\varepsilon$ の臨界点を求めるために、ネハリ多様体 $\mathcal{N}_\varepsilon$ 上で変分法を適用する。
• 解の集中を追跡するために、重心写像 $\beta_\varepsilon(u) = \int \chi(\varepsilon x) u^2 / \int u^2$ を用いる。
• コンパクト性と収束を保証するために、エネルギー区間 $ (m_{V_0}^{\infty}, m_{V_0}^{\infty} + h(\varepsilon)) $ におけるパライス＝スモール条件を適用する。
• ホモトピー同値性と変形論的議論を用いて、ポテンシャルの極小点集合 $M$ のカテゴリーと臨界点の数を関連付ける。
• リューステルニック＝シュナイレルマン理論を適用し、臨界点の数が $\operatorname{cat}(M)$ 以上であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数マクロなシュレーディンガー＝ポアソン系の半古典的極限において、正の解はいくつ存在するか？
• RQ2 ポテンシャルの極小点集合の位相的不変量を用いて、正の解の数を推定できるか？
• RQ3 分数ラプラシアンは、解の集中と多重性にどのような役割を果たすか？
• RQ4 $\varepsilon$, $s$, $\alpha$, および $\theta$ のパラメータが、解の存在および数にどのように影響するか？
• RQ5 関連するエネルギー範囲内で、パライス＝スモール条件がどのような条件下で成立するか？

主な発見

• 分数マクロなシュレーディンガー＝ポアソン系の正の解の数は、ポテンシャル $V(x)$ の極小点集合のリューステルニック＝シュナイレルマンカテゴリーによって下から抑えられる。
• 十分に小さい $\varepsilon > 0$ に対して、$M$ を $V$ のグローバル極小点の集合とするとき、少なくとも $\operatorname{cat}(M)$ 個の正の解が存在する。
• $\varepsilon \to 0^+$ のとき、解は $V$ の極小点付近に集中する。重心写像 $\beta_\varepsilon$ は、$M$ に一様に収束する。
• 十分に小さい $\varepsilon$ に対して、エネルギー区間 $ (m_{V_0}^{\infty}, m_{V_0}^{\infty} + h(\varepsilon)) $ でパライス＝スモール条件が成立し、パライス＝スモール列の収束が保証される。
• $M$ が有界でかつ可縮でない場合、カテゴリ推定値を超える追加の解が存在する。これは、ネハリ多様体上での $\Phi_\varepsilon(M)$ の像の非可縮性に起因する。
• 従来の局所的シュレーディンガー＝ポアソン系における多重性結果を、非局所的（分数）系へと拡張し、位相的多重性構造を保持する。