[論文レビュー] Positive solution of Hilfer fractional differential equations with integral boundary conditions

Mohammed A. Malahi, Mohammed S. ‬Abdo+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2019

Nonlinear Differential Equations Analysis被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、固定点定理および上解下解技法を用いて、積分境界条件を伴う一階ヒルファ分数階微分方程式の正の解の存在および一意性を確立する。存在性はシューアド固定点定理により、一意性はバナッハ収縮原理により証明され、非線形項の単調性を要件としない条件下で成り立つ。

ABSTRACT

In this article, we have interested the study of the existence and uniqueness of positive solutions of the first-order nonlinear Hilfer fractional differential equation \begin{equation*} D_{0^{+}}^{α,β}y(t)=f(t,y(t)), ext{ }0

研究の動機と目的

• 積分境界条件を伴う一階ヒルファ分数階微分方程式の正の解の存在および一意性を調査すること。
• 一般ヒルファ微分作用素を考察することで、既存の分数階微分方程式の結果を拡張すること。ヒルファ微分作用素はリーマン＝リウヴィル微分作用素とカプート微分作用素の間を補間する。
• 非線形項に単調性条件を課さずに存在基準を確立すること。
• 重み付き連続関数空間における正の解の存在および一意性の十分条件を提供すること。
• 数値例（見直し版に含める予定）を通じて理論的結果の有効性を示すこと。

提案手法

• ヒルファ微分作用素の定義およびリーマン＝リウヴィル分数階積分を用いて、ヒルファ分数階微分方程式を等価な積分方程式に変換する。
• 重み付き空間 $ C_{1-\beta} [0,1] $ におけるシューアド固定点定理を用いて、少なくとも1つの正の解の存在を証明する。
• 上解と下解の方法を用いて、非線形項 $ f(t,y(t)) $ の制御関数を構築し、正値性および有界性を保証する。
• リプシッツ型条件と1未満の収縮定数を満たすことを確認することで、バナッハ収縮原理を適用し、一意性を確立する。
• 解作用素 $ \Delta $ を定義し、条件 $ \left(\frac{\lambda e}{\Gamma(\gamma)\mu} + \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)}\right)L_f < 1 $ の下でそれが収縮写像であることを証明する。
• Banach空間における連続関数の収束を保証するため、重み付きノルム $ \|y\|_{C_{1-\gamma}} = \max_{t \in [0,1]} |t^{1-\gamma} y(t)| $ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積分境界条件を伴う一階ヒルファ分数階微分方程式が正の解をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 非線形項の単調性を要件としないで、正の解の存在をどのように証明できるか？
• RQ3 ヒルファ分数階微分方程式の文脈において、正の解の一意性を保証する条件は何か？
• RQ4 リーマン＝リウヴィル微分作用素とカプート微分作用素の間を補間する一般ヒルファ微分作用素は、特殊ケース（リーマン＝リウヴィルおよびカプート）と比較して、存在および一意性の解析にどのように影響を与えるか？
• RQ5 上解と下解の方法は、積分境界条件を伴うヒルファ型分数階問題に効果的に適用可能か？

主な発見

• 重み付き空間 $ C_{1-\gamma}[0,1] $ において、少なくとも1つの正の解が存在することがシューアド固定点定理により確立された。
• 非線形項 $ f(t,y) $ に単調性仮定を課さず、上解と下解の構築に依拠することで、存在結果が得られた。
• リプシッツ定数 $ L_f $ が $ \left(\frac{\lambda e}{\Gamma(\gamma)\mu} + \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)}\right)L_f < 1 $ を満たす場合、一意な正の解が存在し、解作用素が収縮写像であることが保証される。
• 解はリーマン＝リウヴィル分数階積分を含む積分形で表現され、特異性の挙動を支配するパrameter $ \gamma = \alpha + \beta(1 - \alpha) $ を含む。
• 上解 $ \overline{y}(t) $ は $ \frac{d}{\Gamma(\gamma)}t^{\gamma-1} + \frac{A_2}{\Gamma(\alpha+1)}t^{\alpha} $ として構築され、下解 $ \underline{y}(t) $ は $ \frac{d}{\Gamma(\gamma)}t^{\gamma-1} + \frac{A_1}{\Gamma(\alpha+1)}t^{\alpha} $ として構築され、両者とも境界条件および微分方程式を満たす。
• 解析により、ヒルファ微分作用素の枠組みはリーマン＝リウヴィルおよびカプートの場合を統一的に扱えることが確認された。$ \beta = 0 $ および $ \beta = 1 $ はそれぞれの極限に対応する。