[論文レビュー] Positive solutions of a nonlocal Caputo fractional BVP

Alberto Cabada, Gennaro Infante|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、正の連続関数の錐上での不動点指数論法を用いて、非局所的カプート・分数階微分境界値問題（BVP）に対して複数の正の解の存在を確立する。BVPを摂動付きハマーシュタイン積分方程式に再定式化し、核関数および関数型の下界・上界を用いて指数条件を検証することにより、明示的なパラメータ制約のもとで少なくとも2つまたは3つの正の解が存在することを証明し、非局所的および分数階BVPに関する先行研究を拡張する。

ABSTRACT

We discuss the existence of multiple positive solutions for a nonlocal fractional problem recently considered by Nieto and Pimental. Our approach relies on classical fixed point index.

研究の動機と目的

• 一般のスティルチェス積分境界条件を有する非局所的カプート・分数階微分BVPに対して、複数の正の解の存在を確立すること。
• 分数階微分と一般化された境界条件を組み合わせることで、非局所的BVPに関する先行研究を拡張すること。
• 正の連続関数の錐上で不動点指数論法を適用し、解の多重性を分析すること。
• 少なくとも2つまたは3つの正の解の存在を保証する非線形項およびパラメータに関する明示的な十分条件を導出すること。
• インファンテとウェブの枠組みを、非局所的関数型境界条件を有する分数階問題に一般化すること。

提案手法

• 非局所的カプート・分数階微分BVPを摂動付きハマーシュタイン積分方程式に再定式化する：$ u(t) = \tilde{\beta}(t)\tilde{\nu}[u] + \beta \tilde{\nu}[u] + \beta \tilde{\nu}[u] $、ここで $ \tilde{\nu}[u] $ はスティルチェス積分を含む関数型である。
• 正の連続関数の錐を $ K = \{ u \to C[0,1], u \geq 0, \min_{t\in[a,b]} u(t) \geq c\|u\| \} $ と定義し、$ c = \min\{c_1, c_2\} $ により、部分区間における正値性と下界を保証する。
• 開かつ有界な集合 $ K_\rho $ および $ V_\rho $ における不動点指数論法を用い、ここで $ V_\rho = \{ u \in K : \min_{t\in[a,b]} u(t) < \rho \} $ である。解の多重性を分析する。
• 指数条件を適用する：$ i_K(T, V\rho) = 0 $ が成り立つのは $ c_2\|\gamma\|\lambda_0 + f_{\rho,\rho/c} \cdot \frac{1}{M} > 1 $ のときであり、$ i_K(T, K_\rho) = 1 $ が成り立つのは $ \tilde{\nu}[\gamma] < 1 $ かつ $ f^{0,\rho} $ が十分に小さいときである。
• 核関数 $ k(t,s) $ および関数型 $ \lambda[u] $ に対して明示的な境界を導出し、上界には $ \Phi(s) $ と $ c_1 $、下界には $ c_2 $ を用いる。
• 核関数および関数型の境界を用いて、入れ子になった集合 $ K_\rho \subset V\rho \subset K_{\rho/c} $ における指数0と指数1の組み合わせを検証し、2つまたは3つの解の存在定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スティルチェス積分境界条件を有する非局所的カプート・分数階微分BVPが、どのような条件下で複数の正の解を有するか。
• RQ2 非局所的関数型境界条件を有する分数階問題に不動点指数論法をどのように適合させることができるか。
• RQ3 摂動付きハマーシュタイン積分構造を有する状況において、少なくとも2つまたは3つの正の解の存在を保証する明示的なパラメータ制約は何か。
• RQ4 グリーン関数の核関数および関数型 $ \lambda[u] $ の下界・上界が解の多重性にどのように影響するか。
• RQ5 部分区間における最小値条件によって定義される錐 $ K $ が、解作用素の正値性およびコンパクト性の証明において果たす役割は何か。

主な発見

• 条件 $ (S_1) $ または $ (S_2) $ が成り立つ場合、入れ子になった集合上での指数0と指数1の交互な条件が満たされ、少なくとも2つの正の解が存在することが証明される。
• 条件 $ (S_3) $ または $ (S_4) $ が満たされる場合、3つまたは4つの指数条件の入れ替えが入れ子の集合上で発生し、少なくとも3つの正の解が存在する。
• 例として $ \alpha = 3/2, \beta = 4/5, \eta = 3/4, \xi = 1/4, \lambda = 1/2 $ を用いると、定数 $ c = 0.132 $ であり、指数 $ i_K(T, V_\rho) = 0 $ を満たすには $ f_{\rho, \rho/c} > 0.218 $ が必要である。
• $ i_K(T, K_\rho) = 1 $ が成り立つのは $ f^{0,\rho} < 1.255 $ のときであり、これは核関数の積分および関数型 $ \tilde{\nu}[\gamma] $ に依存する。
• $ i_K(T, K_\rho) = 1 $ の結果を得るためには $ \tilde{\nu}[\gamma] < 1 $ が必要であり、これは明示的に $ \lambda(\beta/\Gamma(3-\alpha) + \eta - \xi) < 1 $ として計算可能であり、例のパラメータでは成り立つ。
• 本稿では $ f_{\rho, \rho/c} $ および $ f^{0,\rho} $ に対して明示的かつ計算可能な境界を提供しており、特定の非線形項に対して解の存在を検証可能である。