[論文レビュー] Positive solutions of singularly perturbed nonlinear elliptic problem on Riemannian manifolds with boundary

Marco Ghimenti, Anna Maria Micheletti|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2010

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、境界を有するコンパクトなリーマン多様体上での特異摂動非線形楕円型方程式に対して、$\operatorname{cat}(\partial M)+1$ 個以上の異なる正の解の存在を確立している。ここで $\varepsilon \to 0$ である。解は境界付近に集中し、その数は境界のルステニク＝シュニレルマンカテゴリーによって規定される。変分法および位相的方法を用いて、平坦な領域からの結果を曲がった多様体に拡張している。

ABSTRACT

Let (M,g) be a smooth connected compact Riemannian manifold of finite dimension n \geq 2 with a smooth boundary \partial M. We consider the problem -ε^2Δ_gu+u=|u|^{p-2}u, u>0 on M, \partial u/ \partialν=0 on \partial M where ν is an exterior normal to \partial M. The number of solutions of this problem depends on the topological properties of the manifold. In particular we consider the Lusternik Schnirelmann category of the boundary.

研究の動機と目的

• 境界を有するコンパクトなリーマン多様体上での特異摂動非線形楕円型問題の正の解の数を特定すること。
• 境界 $\partial M$ の位相が解の数に与える影響を調査すること。
• 平坦な領域における解の多重性に関する既存の結果を、曲がった多様体に境界を有する場合に拡張すること。
• 境界 $\partial M$ のルステニク＝シュニレルマンカテゴリーを用いて、解の数に対する位相的下界を確立すること。
• 変分法および漸近解析を用いて、境界付近に集中する解を構成すること。

提案手法

• 問題を、ソボレフ空間 $H_g^1(M)$ 内のネハリ多様体上の制約付き最小化問題として定式化する。
• 半空間問題 $\mathbb{R}^n_+$ の境界層解 $V$ をモデルにした、近似解の族 $Z_{\varepsilon,q}$ を用いる。
• 境界点からネハリ多様体内の近似解へ写像するリトラクション写像 $\Phi_\varepsilon: \partial M \to \mathcal{N}_\varepsilon$ を構成する。
• 境界層プロファイルの錐型結合を用いて、ネハリ多様体内に $\Phi_\varepsilon(\partial M)$ を含む可縮集合 $T_\varepsilon$ を定義する。
• ルステニク＝シュニレルマンカテゴリー理論を適用して、エネルギー汎関数の複数の臨界点の存在を導出する。
• プロファイル $V$ の指数的減衰推定およびスケーリング論法を用いて、$\varepsilon$ に依存しないエネルギーおよびノルム推定を一様に制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界 $\partial M$ の位相的性質は、リーマン多様体上での特異摂動楕円型方程式の正の解の数にどのように影響するか。
• RQ2 境界 $\partial M$ のルステニク＝シュニレルマンカテゴリーを用いて、異なる解の数に対する下界を提供できるか。
• RQ3 解は $\varepsilon \to 0$ の際に境界付近に集中するか。また、その集中は $\partial M$ の幾何構造とどのように関係するか。
• RQ4 位相的方法を用いて、平坦な領域における多重性の結果を境界を有するコンパクトなリーマン多様体に拡張可能か。
• RQ5 ネハリ多様体およびエネルギー汎関数は、複数の解の存在を示す際に果たす役割は何か。

主な発見

• 十分に小さい $\varepsilon > 0$ に対して、問題は少なくとも $\operatorname{cat}(\partial M) + 1$ 個の異なる正の解を有する。
• 解は非定数であり、$\varepsilon \to 0$ の際に境界 $\partial M$ 付近に集中する。
• 解のエネルギーは $\varepsilon$ に依存しない定数によって一様に上から抑えられており、変分的枠組みにおけるコンパクト性を保証する。
• ネハリ多様体内に構成された集合 $T_\varepsilon$ は可縮であり、写像 $\Phi_\varepsilon$ による境界の像を含むため、位相的多重性の議論が可能になる。
• 境界層解のプロファイル $V$ は指数的に減衰するため、漸近解析におけるエネルギーおよびノルム推定の均一な制御が保証される。
• 解の数は、境界 $\partial M$ のルステニク＝シュニレルマンカテゴリーによって測定される位相的複雑性に厳密に依存する。