[論文レビュー] Positive solutions to some asymptotically linear fractional Schrodinger equations

Jinguo Zhang, Xiaochun Liu|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^N$ 上で $N>2s$ を満たす分数階シュレーディンガー方程式に対して、変分法とパライス・スメール列の新しい表現を用いて、漸近的に線形な非線形性を有する正の解の存在を確立する。主な貢献は、ポテンシャル $V(x)$ および非線形項 $f(u)$ に対して適切な条件下で、エネルギー汎関数に臨界点が存在することを示し、アームブラゼッティ・ラビノヴィッツ条件が成立しないにもかかわらず、少なくとも1つの正の解が得られることを示すことにある。

ABSTRACT

This paper is devoted to prove the existence and nonexistence of positive solutions for a class of fractional Schrodinger equation in RN of the We apply a new methods to obtain the existence of positive solutions when f(u) is asymptotically linear with respect to u at infinity.

研究の動機と目的

• 分数階シュレーディンガー方程式に対して、$\mathbb{R}^N$ 上で $N>2s$ かつ $s\in(0,1)$ を満たす条件下で、漸近的に線形な非線形性を有する正の解の存在を確立すること。
• 空間 $H^s(\mathbb{R}^N)$ 内の非コンパクト埋め込みと、問題における対称性の欠如という課題に対処すること。
• 変分法でよく用いられるが、漸近的に線形な非線形性では成立しないアームブラゼッティ・ラビノヴィッツ条件の不成立を克服すること。
• パライス・スメール列のための新しい表現定理を構築し、コンパクト性の唯一の障害が無限遠における極限問題の解に起因することを特定すること。
• エネルギー汎関数の下界が臨界値でないことを証明し、追加の条件のもとで臨界点が存在することを示し、正の解が得られることを示すこと。

提案手法

• 研究は、空間 $H^s(\mathbb{R}^N)$ 上で変分法を用い、エネルギー汎関数 $\mathcal{I}(u) = \frac{1}{2}\int |(-\Delta)^{s/2}u|^2 dx + \frac{1}{2}\int V(x)|u|^2 dx - \int F(u) dx$ を定義する。
• パライス・スメール列のための新しい表現定理を導出し、コンパクト性の障害が無限遠における極限方程式 $(-\Delta)^s u + V_\infty u = f(u)$ の解に起因することを示す。
• ポホジャエフ恒等式を適用して、解の挙動を分析し、解の非存在に必要な条件を導出する。
• リンク定理と変形補題を併用して、条件 $V_5$ の下でエネルギー汎関数に臨界点が存在することを証明する。
• 適切な変形リトラクト $Q = \Gamma(\overline{B}_{\bar{\rho}}(0))$ と集合 $S = \{u \in \mathcal{P} : \beta(u) = 0\}$ を構築し、それらがリンク定理の意味でリンクしていることを示す。
• ポテンシャル項 $V(x) - V_\infty$ の精密な推定と、スケーリングの議論を用いて、スケーリングされた関数の挙動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的に線形な非線形性を有する分数階シュレーディンガー方程式が、$\mathbb{R}^N$ 上で正の解を有するための条件は何か？
• RQ2 非線形性が漸近的に線形であり、かつアームブラゼッティ・ラビノヴィッツ条件が成立しない場合、$H^s(\mathbb{R}^N)$ 内の埋め込みにおけるコンパクト性の欠如をどのように克服できるか？
• RQ3 無限遠における極限問題が、パライス・スメール列のコンパクト性を妨げる役割を果たすメカニズムは何か？
• RQ4 非線形性が漸近的に線形であり、かつ (AR)-条件が満たされない場合、エネルギー汎関数の下界が臨界値である可能性はあるか？
• RQ5 ポテンシャル $V(x)$ に課される幾何学的・解析的条件は何か？ その条件下で正の解が存在することを保証できるか？

主な発見

• 集合 $\mathcal{P}$ に対して $p = \inf\{\mathcal{I}(u) : u \in \mathcal{P}\}$ は、エネルギー汎関数 $\mathcal{I}$ の臨界値ではなく、したがって達成されない。
• 追加条件 $(V_5)$ を満たす場合、すなわち $\frac{(N-2s)\|w\|^2_{H^s}}{A\|w\|^2_{L^2}} \leq 2^{2s/N}$ が $A = \max_x \langle \nabla V(x), x \rangle$ を満たす場合、$H^s(\mathbb{R}^N)$ 内に少なくとも1つの正の解が存在する。
• エネルギー汎関数の臨界レベル $d$ は $m_\infty < d < 2m_\infty$ を満たし、ここで $m_\infty$ は無限遠における極限問題におけるエネルギーの下界である。
• パライス・スメール条件 $(PS)_d$ は区間 $(m_\infty, 2m_\infty)$ 内で成り立ち、リンク定理により臨界点の存在が保証される。
• 与えられた $f(u)$ の仮定（特に $f(t)/t \to 1$ as $t \to \infty$ および $f(t)/t \to 0$ as $t \to 0^+$）のもとで、最大原理により得られた解は正である。
• 解析により、パライス・スメール列における唯一のコンパクト性の障害は、無限遠における極限方程式の非自明な解に起因することを示し、スケーリングおよびノルム推定を用いてこれを厳密に制御できることが分かった。