[論文レビュー] Positive Systems Analysis Via Integral Linear Constraints

Sei Zhen Khong, Corentin Briat+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2015

Stability and Control of Uncertain Systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非線形かつ時変動系の正のフィードバック相互接続に対する、積分線形制約（ILC）を用いた新しいロバスト安定性解析フレームワークを提案する。本稿は、瞬時の利得条件が閉ループ系の適切な定義と正性を保証することを確立し、線形時不変（LTI）系の古典的安定性条件を、線形計画法による解法が可能なスケーラブルなL1ベースの解析によって、より広いクラスの系へ一般化する。

ABSTRACT

Closed-loop positivity of feedback interconnections of positive monotone nonlinear systems is investigated. It is shown that an instantaneous gain condition on the open-loop systems which implies feedback well-posedness also guarantees feedback positivity. Furthermore, the notion of integral linear constraints (ILC) is utilised as a tool to characterise uncertainty in positive feedback systems. Robustness analysis of positive linear time-varying and nonlinear feedback systems is studied using ILC, paralleling the well-known results based on integral quadratic constraints.

研究の動機と目的

• 正の単調非線形系のフィードバック相互接続が、常に正であり、かつ適切に定義されている条件を確立すること。
• 正のLTI系に対する古典的ロバスト安定性結果を、線形時変動（LTV）および非線形系へ拡張すること。
• 積分線形制約（ILC）を用いたスケーラブルな解析フレームワークを構築し、積分二次制約（IQC）に類似するが、正の系に対しては計算効率が向上したものとする。
• 閉ループの正性を保証する十分条件を、瞬時の利得に基づいて提示し、全系の動的特性に依存しないようにすること。
• L1ベースの制約と線形計画法を用いて、不確実性を伴う正の系のロバストネス解析を可能にすること。

提案手法

• 積分線形制約（ILC）を用いて、正のフィードバック系における不確実性を特徴づけ、正の系に対するIQCフレームワークを一般化する。
• 開ループ系G1およびG2におけるILC条件を符号化するための乗数ベクトルΠ ∈ ℝ^{1×(m+p)}を定義する。
• 演算子G1およびG2に対して因果性および有界性の仮定を課し、L1e+上で適切な定義と安定性を保証する。
• 不等式 ∥v∥₁ + ∥w∥₁ ≤ (‖ψ̄‖/ϵ)(∥d₁∥₁ + ∥d₂∥₁ を用いて、安定性の十分条件を導出する。ここでψ̄は乗数Ψの各成分の絶対値の最大値である。
• 逆演算子 (I − τG₂G₁)⁻¹ を用い、τ ∈ [0,1] に対してL1e+上で有界性を示す帰納的証明を実施し、安定性を保証する。
• 乗数ΠとDC（s=0）における系の利得を含むベクトル不等式に帰着させることで、線形計画法による解法が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの正の非線形系のフィードバック相互接続が、常に正であり、かつ適切に定義されている条件は何か？
• RQ2 正のLTI系における古典的静的利得条件は、ILCを用いて時変動および非線形系へ一般化可能か？
• RQ3 積分線形制約は、正のフィードバック系における不確実性を特徴づけ、ロバスト安定性を保証するためにどのように用いられるか？
• RQ4 L1ベースのILCは、正の系に対してIQCベースの解析のスケーラブルな代替手段を提供するか？
• RQ5 提案されたフレームワークは、時変動利得や構造的不確実性を有する系へ適用可能か？

主な発見

• 閉ループの正性を保証する十分条件が確立された：開ループ系がILCを介した瞬時の利得条件を満たす場合、フィードバック相互接続は正のままである。
• 乗数に基づくILC定式化を用いて、古典的条件 ρ(Ĝ₁(0)Ĝ₂(0)) < 1 を非線形および時変動系へ一般化した。
• G₂ ∈ ILCc(Π) かつ τG₁ ∈ ILC(Π) がすべてのτ ∈ [0,1] に対して成り立つ場合、[G₁, G₂] のL1e+上でのロバスト安定性が保証される。ここで乗数Πは利得および不確実性の上限を符号化する。
• 安定性条件は線形計画法による解法が可能なフレームワークを導き、計算複雑度は系の次元に線形に比例する。
• LTI系の場合、特定の乗数Πを選択することで、既知の結果 ρ(Ĝ₁(0)Ĝ₂(0)) < 1 が特殊ケースとして回復される。
• 時変動利得δ₁(t), δ₂(t) ∈ [0,α], [0,β] を有する系に対しても、乗数条件 Π[Ĥ(0) I] < 0 が成り立つ場合、安定性が保証される。