[論文レビュー] Positive topological entropy implies chaos DC2

Tomasz Downarowicz|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、正の位相的エントロピーが、一般の位相的力学系においてDC2-スクラムブルド集合の存在を示すことを証明し、スミタルの長年の予想を解決した。エルゴディック理論と測度論的エントロピーを用いて、各点の軌道が頻繁に近い（上付近度1）が、同時に頻繁に遠く離れている（下付近度が1から正に離れる）ような、完璧で非可算なスクラムブルド集合を構成した。これはDC2カオスの基準を満たす。

ABSTRACT

Using methods of ergodic theory we prove as in the title.

研究の動機と目的

• 一般の位相的力学系において、正の位相的エントロピーが分布的カオスDC2を含むことを解決すること。
• 正の位相的エントロピーを有する任意の系において、非可算なDC2-スクラムブルド集合の存在を確立すること。
• そのようなスクラムブルド集合が、カントール集合としての完璧な集合として構成可能であることを証明し、スミタルのもう一つの予想を解決すること。
• スクラムブルド集合内のすべての点対に対して、共通のパラメータ t₀ と下付近度 δ を持つ、均一なカオス性を示すこと。

提案手法

• 正のエントロピーを有するエルゴディック過程におけるシリンダ集合の漸近的挙動を分析するために、シャノン–マミラン–ブライマンの定理を用いる。
• 制御されたエントロピーと分離性を持つ記号的系を生成するために、分割の列および細分化の列を構成する。
• 各 Cκ が二進列に対応し、同期化された挙動を示す点を捉える、コンパクト集合の和集合上のボレル同値関係を定義する。
• シルバーの定理を適用して、各 Cκ と高々一点しか共通点を持たない完璧な集合を抽出し、スクラムブルド集合が非可算かつコンパクトであることを保証する。
• 構成された集合がDC2条件を満たすことを確立する：軌道は上付近度1で近く、下付近度が1から正に離れるほど遠く離れる。
• ある正の密度の時間において、少なくとも t₀ 離れているという性質が閉包に関して保存されることを用い、スクラムブルド集合内のすべての点対に対してDC2条件が成り立つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の位相的エントロピーは、一般の位相的力学系において非可算なDC2-スクラムブルド集合の存在を示すか？
• RQ2 そのようなDC2-スクラムブルド集合は、スミタルの予想に従い、完璧な集合として構成可能か？
• RQ3 そのような系におけるDC2カオスは、すべての点対に対して共通のパラメータ t₀ と下付近度 δ を持つ均一なものか？
• RQ4 エルゴディック理論と測度論的エントロピーを用いて、強い構造的仮定がなくても、位相的カオス性を証明できるか？

主な発見

• 正の位相的エントロピーは、任意の位相的力学系において非可算なDC2-スクラムブルド集合の存在を示す。
• 構成されたDC2-スクラムブルド集合は完璧である。これは、スミタルの予想が正当であることを確認する。すなわち、そのような集合はカントール集合として得られる。
• カオスは均一である：スクラムブルド集合内のすべての点対が、同じ t₀ > 0 と下付近度 δ > 0 を共有し、軌道が無限回にわたって少なくとも t₀ 離れていることが、密度が少なくとも δ 以上に保証される。
• 構成はエルゴディック理論とシャノン–マミラン–ブライマンの定理に依存しており、位相的エントロピーが測度論的複雑性を含み、それが分布的カオスに翻訳されることを示している。
• スクラムブルド集合は非可算かつ非可算にスクラムブルドであり、すべての点対が同時にDC2条件を満たす。
• 証明により、DC2条件がエルゴディック平均によって記述可能であり、これはエルゴディック理論における自然な対象であることが示された。