[論文レビュー] Positive Voiculescu-Brown entropy in noncommutative toral automorphisms

David Kerr, Hanfeng Li|ArXiv.org|Mar 7, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$GL(d,\mathbb{Z})$ に由来する非可換トーラス自己同型のボイクルーズ＝ブラウンエントロピーに対して、古典的位相的エントロピーの半分という下界を確立し、行列 $S$ が単位根を固有値に持たない場合には、標準的ユニタリの積に関する局所ボイクルーズ＝ブラウンエントロピーが正であることを証明する。さらに、単位的設定において完全正のCNTエントロピーが完全正のボイクルーズ＝ブラウンエントロピーを意味することを示し、古典的力学的概念を非可換系へと拡張する。

ABSTRACT

We show that the Voiculescu-Brown entropy of a noncommutative toral automorphism arising from a matrix S in GL(d,Z) is at least half the value of the topological entropy of the corresponding classical toral automorphism. We also obtain some information concerning the positivity of local Voiculescu-Brown entropy with respect to single unitaries. In particular we show that if S has no roots of unity as eigenvalues then the local Voiculescu-Brown entropy with respect to every product of canonical unitaries is positive, and also that in the presence of completely positive CNT entropy the unital version of local Voiculescu-Brown entropy with respect to every non-scalar unitary is positive.

研究の動機と目的

• 非可換トーラス自己同型 $\alpha_{S,\Theta}$ のボイクルーズ＝ブラウンエントロピーの下界を、$GL(d,\mathbb{Z})$ 行列から生じる古典的位相的エントロピーの観点から特定すること。
• 標準的ユニタリの積に関する局所ボイクルーズ＝ブラウンエントロピーの正の性質を調査すること。
• ボイクルーズ＝ブラウンエントロピーを用いて、古典的から非可換力学系へと完全正エントロピーの概念を拡張すること。
• 単位的 $C^*$-代数設定におけるCNTエントロピーとボイクルーズ＝ブラウンエントロピーの関係を明確にすること。
• 特に $d=2$ の場合に、非可換トーラスにおけるエントロピー正の性質に関する以前の結果を是正・強化すること。

提案手法

• 非可換 $d$-トーラス $A_\Theta$ を生成するユニタリが満たすねじれ付き交換関係 $u_j u_k = e^{2\pi i \theta_{jk}} u_k u_j$ による普遍 $C^*$-代数の構成を用いる。
• 行列 $S \in GL(d,\mathbb{Z})$ によって誘導される自己同型 $\alpha_{S,\Theta}$ を、$\alpha_{\Theta}(u_j) = \prod_{k=1}^d u_k^{s_{kj}}$ で定義し、非可換トーラス自己同型を構成する。
• [27] で得られたボイクルーズ＝ブラウンエントロピーの上界（古典的位相的エントロピー $\sum_{|\lambda_i|>1} \log|\lambda_i|$）を用いて、下界を導出する。
• [13] の結果を用いて、標準的ユニタリの積に関する局所ボイクルーズ＝ブラウンエントロピーを分析する。
• 単位的ボイクルーズ＝ブラウンエントロピーの定式化を適用し、単位的設定における完全正エントロピーの非可換拡張と同等であることを確立する。
• ネシュヴェイフの $2$-コサイクルに関するsummability条件を活用し、エントロピー的 $K$-性質を導出し、それによって完全正のCNTエントロピーが得られ、これが完全正のボイクルーズ＝ブラウンエントロピーを意味することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列 $S$ の古典的位相的エントロピーを用いて、非可換トーラス自己同型 $\alpha_{S,\Theta}$ のボイクルーズ＝ブラウンエントロピーの下界は何か？
• RQ2 行列 $S$ にどのようなスペクトル的条件が課されると、標準的ユニタリの積に関する局所ボイクルーズ＝ブラウンエントロピーが正になるか？
• RQ3 von Neumann代数的設定における完全正のCNTエントロピーは、すべての非スカラーのユニタリに対して、局所ボイクルーズ＝ブラウンエントロピーの単位的バージョンが正であることを意味するか？
• RQ4 局所ボイクルーズ＝ブラウンエントロピーの正の性質は、行列 $S$ のスペクトルに単位根が存在しないこととどのように関係するか？
• RQ5 von Neumann代数的系におけるエントロピー的 $K$-性質は、非可換トーラス設定において、ボイクルーズ＝ブラウンエントロピーを正にする程度はどの程度か？

主な発見

• ボイクルーズ＝ブラウンエントロピー $h_{\text{VB}}(\alpha_{S,\Theta})$ は、少なくとも古典的位相的エントロピーの半分以上であり、すなわち $\geq \frac{1}{2} \sum_{|\lambda_i|>1} \log|\lambda_i|$ が成り立つ。
• 行列 $S$ が単位根を固有値に持たない場合、すべての標準的ユニタリの積に関する局所ボイクルーズ＝ブラウンエントロピーは正である。
• 完全正のCNTエントロピーは、すべての非スカラーのユニタリに対して、局所ボイクルーズ＝ブラウンエントロピーの単位的バージョンが正であることを意味する。
• 単位的設定において、すべての非スカラーのユニタリ $u$ に対して $ht^\prime(\alpha, \{u\}) > 0$ が成り立つことは、完全正のボイクルーズ＝ブラウンエントロピーと同値である。
• $d=2$ の場合、$\theta \in \mathbb{Z} + 2\mathbb{Z}\lambda^2$ かつ $|\lambda| > 1$ のとき、与えられたスペクトル的条件のもとでエントロピーが正であることが保証される。
• 本稿では、[18] の誤りを是正し、周期性（単位根を固有値に持たない）が、summability条件が $K$-性質を導くために必要十分であることを示した。これは、単位円上に固有値が存在しないことよりも強い条件である。