[論文レビュー] Positive volatility simulation in the Heston model

Simon J. A. Malham, Anke Wiese+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 89被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、一般化ガウス確率変数の累乗の和を用いた分散過程の遷移密度の新しい表現を導出することにより、Hestonの stochastic volatility モデルの正確なシミュレーション手法を提案する。この手法は、Marsagliaの極座標法を一般化ガウス分布へと拡張し、真の遷移密度からの効率的かつロバストな正確サンプリングを可能にする。特に、自由度が低く、ゼロ境界が到達可能な平均回帰型平方根過程において顕著な効果を示す。

ABSTRACT

In the Heston stochastic volatility model, the transition probability of the variance process can be represented by a non-central chi-square density. We focus on the case when the number of degrees of freedom is small and the zero boundary is attracting and attainable, typical in foreign exchange markets. We prove a new representation for this density based on sums of powers of generalized Gaussian random variables. Further we prove Marsaglia's polar method extends to this distribution, providing an exact method for generalized Gaussian sampling. The advantages are that for the mean- reverting square-root process in the Heston model and Cox-Ingersoll-Ross model, we can generate samples from the true transition density simply, efficiently and robustly.

研究の動機と目的

• 外国為替市場で一般的に見られるように、自由度が小さくゼロ境界が到達可能な場合のHestonモデルの分散過程のシミュレーションの課題に対処すること。
• これらの条件下で分散過程の真の遷移密度に対する数値的に安定かつ効率的なサンプリング手法を開発すること。
• Marsagliaの極座標法を一般化ガウス分布へと拡張し、Hestonモデルの遷移密度からの正確なサンプリングを可能にすること。
• 平均回帰型平方根過程（Heston や CIR モデルを含む）において、近似法やEulerに基づく手法の代替としてのロバストな代替手法を提供すること。

提案手法

• Hestonモデルにおける非非心カイ二乗分布の新しい表現を、一般化ガウス確率変数の累乗の和として導出する。
• 一般化ガウス分布の性質を活用し、変換法を用いて正確なシミュレーションを可能にする。
• 元々標準正規変数を対象としていたMarsagliaの極座標法を、一般化ガウス分布へと拡張する。
• Hestonモデルにおける分散過程の真の遷移密度から直接経路を生成するサンプリングアルゴリズムを構築する。
• Euler法やミルシュタインスキームに内在する離散化誤差を回避することで、数値的安定性と効率性を確保する。
• 分散過程が平均回帰的であり、ゼロ境界が到達可能な場合に、本手法のロバスト性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hestonモデルの分散過程の遷移密度は、一般化ガウス確率変数の累乗の和として表現可能か？
• RQ2 Marsagliaの極座標法は、新しい表現で用いられる一般化ガウス分布のクラスに一般化可能か？
• RQ3 この一般化されたサンプリング手法は、自由度が低くゼロ境界が到達可能な状況下で、Hestonモデルの分散過程の正確かつ効率的・ロバストなシミュレーションを可能にするか？
• RQ4 標準的な離散化に基づくアプローチと比較して、本手法は平均回帰型平方根過程における精度と効率性でどのように優れているか？

主な発見

• Hestonモデルの分散過程の遷移密度は、一般化ガウス確率変数の累乗の和として正確に表現可能であり、正確なシミュレーションが可能である。
• Marsagliaの極座標法は一般化ガウス分布へと成功裏に拡張され、導出された分布からの正確なサンプリングが可能となった。
• 本手法により、HestonおよびCIRモデルにおける分散過程の真の遷移密度からの直接的かつ正確なサンプリングが可能となり、離散化バイアスを回避できる。
• 特に自由度が低くゼロ境界が到達可能な状況において顕著に効果的かつロバストであり、これは外国為替市場で一般的な状況である。
• アルゴリズムは計算的に効率的かつ数値的に安定しており、精度とロバスト性の面で、標準的なEuler法やミルシュタインスキームを上回っている。