[論文レビュー] Positivity and the Energy Momentum Tensor in Quantum Field Theory

José I. Latorre, H. Osborn|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 1997

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、物理的に意味のある部分空間に量子状態を制限することで、平坦空間量子場の理論における弱エネルギー条件を再評価する。エネルギー運動量テンソル期待値の正定値性が保たれる部分空間において、共形不変性のもとで三点関数のパラメータに関する非自明な不等式を導出し、自由場理論では2次元に近い領域を除いて成立する。2次元に近い領域での不成立は、さらなる状態制限によって解消される。また、曲がった空間におけるトポロジカル項の係数の正定値性を確認する。

ABSTRACT

The applicability of the weak energy condition in flat space quantum field theory to expectation values of the the energy momentum tensor is reconsidered. It is shown how the usual counter arguments against the validity of any positivity condition fail if the states |ψ 〉 are restricted to a suitably defined subspace. A possible natural restriction on |ψ 〉 is suggested and illustrated by two quantum mechanical examples based on a simple perturbed harmonic oscillator Hamiltonian. The proposed quantum weak energy condition is applied to states formed by the action of scalar, vector and the energy momentum tensor operators on the vacuum. We assume conformal invariance in order to determine almost uniquely three-point functions involving the energy momentum tensor in terms of a few parameters. The positivity conditions lead to non trivial inequalities for these parameters. They are satisfied in free field theories, except in one case for dimensions close to two. Further restrictions on |ψ〉 are suggested which remove this problem. The inequalities which follow from considering the state formed by applying the energy momentum tensor to the vacuum are shown to imply that the coefficient of the topological term in the expectation value of the trace of the energy momentum tensor in an arbitrary curved space background is positive, in accord with calculations in free field theories.

研究の動機と目的

• 物理的状態 |ψ⟩ の集合を物理的に意味のある部分空間に制限することで、平坦空間量子場の理論における弱エネルギー条件を再表現すること。
• 正定値条件に対する長年の反論を解消するため、自然な量子状態の制限を同定し、その有効性を回復させること。
• 提案された量子弱エネルギー条件を、真空にスカラー、ベクトル、エネルギー運動量テンソル演算子を作用させることで生成される状態に適用すること。
• 共形不変性のもとでエネルギー運動量テンソルを含む三点関数を、最小限のパラメータ集合を用いて決定すること。
• これらのパラメータに関する非自明な不等式を導出し、その分析を行い、自由場理論におけるその満たし方を検証すること。特に、曲がった空間におけるトレース異常との関係を検討すること。

提案手法

• ハーモニックオシレーターの摂動モデルに由来する物理的制約によって定義される部分空間に、状態 |ψ⟩ のヒルベルト空間を制限する。
• 共形不変性を用いて、エネルギー運動量テンソルを含む三点関数の形を制限し、少数のパラメータに依存する形に簡略化する。
• 提案された量子弱エネルギー条件を、真空にスカラー、ベクトル、エネルギー運動量テンソル演算子を作用させることで生成される状態に適用する。
• これらの状態におけるエネルギー運動量テンソル期待値の正定値条件を導出し、三点関数のパラメータに関する不等式を導く。
• これらの不等式が、曲がった空間背景におけるエネルギー運動量テンソルのトレースに現れるトポロジカル項の係数に与える影響を分析する。
• 2つの量子力学的例（摂動されたハーモニックオシレーター）を用いて、状態制限の物理的妥当性と一貫性を説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的に意味のある部分空間に制限された状態において、量子場の理論におけるエネルギー運動量テンソル期待値に対する弱エネルギー条件を一貫して適用できるか？
• RQ2 共形不変性が、エネルギー運動量テンソルを含む三点関数の構造に与える影響は何か？
• RQ3 導出された正定値条件は、自由場理論におけるこれらの三点関数のパラメータに非自明な制約をもたらすか？
• RQ4 なぜ自由場理論では2次元に近い領域で正定値条件が成立しなくなるのか？これはさらなる状態空間の制限によって解消可能か？
• RQ5 真空にエネルギー運動量テンソルを作用させることで生成される状態におけるエネルギー運動量テンソル期待値の正定値性は、任意の曲がった空間背景におけるトポロジカル項係数の正定値性を示唆するか？

主な発見

• 提案された状態 |ψ⟩ の制限は、正定値条件に対する標準的な反論を解消し、量子弱エネルギー条件の有効性を回復する。
• エネルギー運動量テンソルの正定値条件は、共形不変性のもとで三点関数のパラメータに関する非自明な不等式を導く。
• これらの不等式は自由場理論では満たされるが、2次元に近い次元では1つの例外を除いて成立しない。
• 2次元に近い領域での不成立を解消するため、|ψ⟩ に対するさらなる制限が提案され、一貫性が回復される。
• 真空にエネルギー運動量テンソルを作用させることで生成される状態は、正定値制約を導き、それが任意の曲がった空間背景におけるトレース異常のトポロジカル項係数が正であることを示唆する。
• この結果は、自由場理論における明示的計算と完全に一致しており、導出された正定値条件の頑健性を確認する。