[論文レビュー] Positivity certificates and polynomial optimization on non-compact semialgebraic sets

Ngoc Hoang Anh, Jean B. Lasserre+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2019

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 68被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、ジャコビの技法を用いてプティナールおよびヴァサイトスクの正性証明を精緻化することで、非コンパクトな半代数的集合上の多項式最適化のための、新たな半定値緩和の階層を提示する。これにより、有限収束と強い双対性が達成される。また、ビッグボールのテクニックに依存せずに、多項方程式系の数値的解法および近似グローバル最適化のための手法を導入する。

ABSTRACT

In a first contribution, we revisit two certificates of positivity on (possibly non-compact) basic semialgebraic sets due to Putinar and Vasilescu [Comptes Rendus de l'Acad\\'emie des Sciences-Series I-Mathematics, 328(6) (1999) pp. 495-499]. We use Jacobi's technique from [Mathematische Zeitschrift, 237(2) (2001) pp. 259-273] to provide an alternative proof with an effective degree bound on the sums of squares multipliers in such certificates. As a consequence, it allows one to define a hierarchy of semidefinite relaxations for a general polynomial optimization problem. Convergence of this hierarchy to a neighborhood of the optimal value as well as strong duality and analysis are guaranteed. In a second contribution, we introduce a new numerical method for solving systems of polynomial inequalities and equalities with possibly uncountably many solutions. As a bonus, one may apply this method to obtain approximate global optimizers in polynomial optimization.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな半代数的集合上の多項式最適化のための実用的なアルゴリズム的枠組みを、ビッグボールのテクニックに依存せずに開発すること。
• 非コンパクト集合上におけるプティナール型正性証明における、平方和乗数の有効な次数上限を提供すること。
• グローバル最適値への収束を保証し、強い双対性のもとで有限収束を可能にする、半定値緩和の階層を確立すること。
• 非可算無限個の解をもつ多項式不等式・等式系を解くための数値的手法を導入し、グローバル多項式最適化に適用可能なものとする。

提案手法

• ジャコビの技法を用いてプティナールおよびヴァサイトスクの正性証明を再考し、平方和乗数の有効な次数上限を導出する。
• 非コンパクトな基本半代数的集合上における一般の多項式最適化問題に対して、モーメント-SOS階層の半定値緩和を構築する。
• 各段階で事前に計算された最適値を制約として取り入れることで、有効領域を段階的に精緻化する再帰的SDP緩和スキームを実装する。
• 最適解が一意である場合に、モーメント行列の平坦拡張条件を満たすことで、階層の有限収束を保証する。
• 最適値を等式制約として埋め込み、段階的な精緻化プロセスを用いて多項式方程式・不等式系を解く。
• 一様分母を用いたラッセルのモーメント-SOS階層を採用し、数値的安定性を確保するとともに、グローバル最小値への収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクト集合上におけるプティナール型正性証明は、平方和乗数の次数上限を用いることで、アルゴリズム的に有効化可能か？
• RQ2 コンパクト性の仮定なしに、グローバル最適値への有限収束を保証する半定値緩和の階層をどのように構築できるか？
• RQ3 非可算無限個の解をもつ多項式系を解く数値的手法をどのように設計し、近似グローバル最適解を導出できるか？
• RQ4 非コンパクト設定下で、モーメント-SOS階層の有限収束を保証する条件は何か？
• RQ5 ビッグボールのテクニックを回避しつつ、多項式最適化におけるグローバル最適性をどのように証明できるか？

主な発見

• 本稿は、非コンパクト集合上におけるプティナール型証明における平方和乗数の有効な次数上限を確立し、アルゴリズム的実装を可能にする。
• 強い双対性と有限収束条件のもとで、グローバル最適値への有限収束を保証する半定値緩和の階層が提案される。
• 最適解が一意であり、平坦拡張条件を満たす場合、モーメント-SOS階層の有限収束が保証される。
• 再帰的SDP精緻化プロセスにおいて最適値を制約として埋め込むことで、近似グローバル最小値の計算が可能となる。
• 提案手法はビッグボールのテクニックを回避し、解の位置を事前に知る必要なく、グローバル最適性の証明を提供する。
• 最適値がηₖⁿ = ξₙであり、平坦拡張が満たされるSDP階層の解は、一意のグローバル最小値x*における1原子の表現測度を意味する。