[論文レビュー] Positivity Cones under Deformations of Complex Structures

Houda Bellitir, Dan Popovici|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンpact複素多様体上のFrolicherスペクトル系列の退化について、2つのアプローチを用いて検討する。第一に、sGG多様体における双次数$(n-2,n)$における正性の$E_2sG$-錐を導入し、複素構造の変形においてその下位連続性を証明する。第二に、$d_h$と呼ばれる捩れた微分作用素を用いて$h$-$\partial\bar{\partial}$-性質を定義し、その変形開放性を示す。主な貢献は、複素構造の小さな変形において$E_2$-退化と正性錐の振る舞いが保存されることを確立したことにある。

ABSTRACT

We investigate connections between the sGG property of compact complex manifolds, defined in earlier work by the second author and L. Ugarte by the requirement that every Gauduchon metric be strongly Gauduchon, and a possible degeneration of the Frölicher spectral sequence. In the first approach that we propose, we prove a partial degeneration at $E_2$ and we introduce a positivity cone in the $E_2$-cohomology of bidegree $(n-2,\,n)$ of the manifold that we then prove to behave lower semicontinuously under deformations of the complex structure. In the second approach that we propose, we introduce an analogue of the $\partial\bar\partial$-lemma property of compact complex manifolds for any real non-zero constant $h$ using the partial twisting $d_h$, introduced recently by the second author, of the standard Poincaré differential $d$. We then show, among other things, that this $h$-$\partial\bar\partial$-property is deformation open.

研究の動機と目的

• コンパクト複素多様体におけるsGG性質とFrolicherスペクトル系列の退化との関係を調査すること。
• 強いGauduchon計量の存在が$E_2$で部分的退化を引き起こすかどうかを検討すること。
• sG計量を用いて、$E_2$-コホモロジー類の双次数$(n-2,n)$における新しい正性錐を導入し、その性質を研究すること。
• 実数で非ゼロの$h$に対して、捩れた微分作用素$d_h$を用いた一般化された$\partial\bar{\partial}$-lemmの変形開放性を確立すること。
• 複素構造のホロモーフィック変形において、$E_2sG$-錐が下位連続的に変化することを証明すること。

提案手法

• 強いGauduchon計量を用いて、ドービュールコホモロジーの修正版として$E_2sG$-錐$\mathcal{S}_X \subset E_2^{n-2,n}(X)$を導入する。
• sGG多様体上で、双次数$(n-2,n)$における写像$d_2$が恒等的に消えることを証明し、部分的$E_2$-退化を示す。
• $h \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$に対して、$h$-捩れ微分作用素$d_h = d + h \partial - h^{-1} \bar{\partial}$を定義し、標準的な$d$作用素の一般化とする。
• $h$-$\partial\bar{\partial}$-性質と、$h$-BCから$h$-Aへの写像の単射性の間の同値性を確立し、帰納的変形議論を可能にする。
• 古典的Ehresmannの定理を用いて、族$\pi: \mathcal{X} \to \Delta$を$C^\infty$的に自明とみなす。これにより、滑らかな多様体とDe Rhamコホモロジーを固定する。
• 次数$k$についての帰納法を用い、$h$-$\partial\bar{\partial}$-性質が変形開放であることを証明する。この際、次元の安定性とコホモロジー写像の単射性・全射性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト複素多様体がsG計量を持つ場合、特に次元3の場合、Frolicherスペクトル系列は$E_2$で退化するか？
• RQ2 sG計量を用いて、タイプ$(p,p)$でない双次数$(n-2,n)$のコホモロジー類に対して正性の概念を定義できるか？
• RQ3 ホロモーフィック変形における複素構造の変化に関して、双次数$(n-2,n)$の$E_2sG$-錐は下位連続的か？
• RQ4 捩れた微分作用素$d_h$を用いて定義される$h$-$\partial\bar{\partial}$-性質は、複素構造の小さな変形においても安定するか？
• RQ5 $h$-$\partial\bar{\partial}$-性質と古典的$\partial\bar{\partial}$-lemmとの関係は何か？また、Frolicherスペクトル系列の退化を示唆するか？

主な発見

• 任意のsGG多様体$X$に対して、$E_2^{n-2,n}(X)$上で作用する写像$d_2$は恒等的に消える。これは部分的$E_2$-退化を示唆する。
• ホロモーフィック族$\pi: \mathcal{X} \to \Delta$において、$t$をパrameterとして、$E_2sG$-錐$\widetilde{\mathcal{S}}_{X_t} \subset H_{\text{DR}}^{2n-2}(X,\mathbb{R})$は下位連続的に変化する。
• $h$-$\partial\bar{\partial}$-性質は変形開放である。$X_0$がこの性質を満たすならば、$t$が0に十分近いすべての$X_t$に対しても同様に成り立つ。
• 任意の$k$に対して、$t$が0に十分近いとき、$X_t$上での$h$-BCおよび$h$-Aコホモロジー群の次元は等しく、自然な写像$H^k_{h-BC}(X_t) \to H^k_{h-A}(X_t)$は同型である。
• 任意の$k$-形式$u$に対して、$h$-$\partial\bar{\partial}$-性質のもとで、$u \in \text{Im}\,d \iff u \in \text{Im}\,(d_h d_{-h^{-1}}) = \text{Im}(\partial\bar{\partial})$が成り立つ。これは古典的$\partial\bar{\partial}$-lemmを一般化する。
• $h$-$\partial\bar{\partial}$-性質は、すべての$k$に対して同値が成り立つ場合、古典的$\partial\bar{\partial}$-lemmを含意する。これは、新しい条件が自然な一般化であることを示している。