[論文レビュー] Positivity in $T$-equivariant $K$-theory of flag varieties associated to Kac-Moody groups II

Seth Baldwin, Shrawan Kumar|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、可対称化 Kac-Moody 群に付随する旗多様体の T-等配グロタンディーク群において、符号の交互性（sign-alternation positivity）を確立する。これは、反対側のシューベルト多様体の基底における構造定数が符号が交互に並び、かつ (e^{-α_i} - 1) の非負整数係数線型結合に属することを示す。この結果は、有限次元の場合の先行研究を一般化し、Lam-Schilling-Shimozono によるアフィングラスマンニアンに関する予想を、双対性、等配コホモロジー、および解体されたスキームの有理的特異点を用いて、オイラー標跡とコホモロジーの消滅により符号を制御することによって確認する。

ABSTRACT

We prove sign-alternation of the structure constants in the basis of structure sheaves of opposite Schubert varieties in the torus-equivariant Grothendieck group of coherent sheaves on the flag varieties $G/P$ associated to an arbitrary symmetrizable Kac-Moody group $G$, where $P$ is any parabolic subgroup. This generalizes the work of Anderson-Griffeth-Miller from the finite case to the general Kac-Moody case, and affirmatively answers a conjecture of Lam-Schilling-Shimozono regarding the signs of the structure constants in the case of the affine Grassmannian.

研究の動機と目的

• 有限次元群から可対称化 Kac-Moody 群への正性結果の一般化。
• Lam-Schilling-Shimozono が提起した、アフィングラスマンニアンのグロタンディーク環における構造定数の符号に関する予想の肯定的解決。
• 任意の有限型のパラボリック P に対して、G/P の T-等配グロタンディーク群における符号の交互性の確立。
• 等配設定からのベースチェインを用いて、通常（非等配）K-理論への結果の拡張。
• 符号の制御に寄与する混合空間、等配双対性、コホモロジーの消滅を統合した枠組みの構築。

提案手法

• 等配オイラー＝ポワンカレペアリングを介して、グロタンディーク群 K^T_0(ḠX) とコンパクト巾付き K-理論 KT_0(X) の間の双対性を用いる。
• 混合空間 XP と混合群 Γ を導入し、等配 K-理論を非等配コホモロジーに還元する。
• シエラの有限次元モデルにおける横断性結果を応用し、重要な層の台とコホモロジーを制御する。
• 重要なスキーム Z の解体 eZ を構成し、Z が有理的特異点を持ち、∂Z がコhen-Macaulay であることを証明する。
• セール双対性と局所的からグローバルへのスペクトル系列を用い、ONγ(−Mγ) のコホモロジーを Ext 群と関連づけ、オイラー標跡の符号を制御する。
• 平坦性とコーサル複体技術を用い、標準層 ωNγ(Mγ) が一般ファイバー上で ωZ(∂Z) の制限と同型であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kac-Moody 旗多様体の T-等配グロタンディーク群における構造定数は符号の交互性を満たすか？
• RQ2 Lam-Schilling-Shimozono が提起した、アフィングラスマンニアンにおける構造定数の符号に関する予想は、K-理論設定において真か？
• RQ3 G/P の K^T_0(G/P) における構造定数の符号は、コホモロジーの消滅と双対性によって特定可能か？
• RQ4 スキーム Z 及びその解体 eZ の有理的特異点性が、符号制御に必要なコホモロジーの消滅を保証するか？
• RQ5 混合群 Γ を用いて、等配問題を、横断性が制御された非等配問題に還元可能か？

主な発見

• G/B の T-等配グロタンディーク群における構造定数 dw^u,v は、(−1)^{ℓ(w)+ℓ(u)+ℓ(v)}dw^u,v ∈ Z≥0[(e^{-α_1}−1),…,(e^{-α_r}−1)] を満たす。
• この結果は、任意の有限型の標準的パラボリック P に対して G/P に拡張可能であり、dw^u,v(P) は同様の符号の交互性条件を満たす。
• 通常の K-理論では、構造定数 aw^u,v(P) は (−1)^{ℓ(w)+ℓ(u)+ℓ(v)}aw^u,v(P) ∈ Z≥0 を満たす。
• Lam-Schilling-Shimozono が提起したアフィングラスマンニアンに関する予想は確認された：(−1)^{ℓ(u)+ℓ(v)+ℓ(w)}bw^u,v ∈ Z≥0。
• 主要なコホモロジー群 Hp(Nγ, ONγ(−Mγ)) は、すべての p ≠ |j| + ℓ(w) − ℓ(u) − ℓ(v) に対して消える。これはオイラー標跡の符号を決定する。
• 標準層 ωZ(∂Z) は混合群 Γ の空でない開部分集合上で平坦であり、これにより半連続性と双対性を用いてコホモロジーの消滅を証明できる。