[論文レビュー] Positivity of divisors on blown-up projective spaces, I

Olivia Dumitrescu, Elisa Postinghel|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般位置にある s ≤ 2n 個の点における射影空間 ℙⁿ の blown-up について、Fujita の予想を確立し、係数の上限がある任意の s に対して無限個のアーモニック線形同型類の族についても同様に確立する。消失定理と数値的基準を用いて、s ≤ 2n の場合に、ネフ性が全生成性を含み、非常に正則性が正則性を含むことを証明し、係数制約を用いて広範なクラスの除数へ Fujita 型の全生成性および非常に正則性の結果を拡張する。

ABSTRACT

We study $l$-very ample, ample and semi-ample divisors on the blown-up projective space $\mathbb{P}^n$ in a collection of points in general position. We establish Fujita's conjectures for all ample divisors with the number of points bounded above by $2n$ and for an infinite family of ample divisors with an arbitrary number of points.

研究の動機と目的

• 一般位置にある点における ℙⁿ の blown-up 上の除数の正則性特性—ネフ性、正則性、全生成性、非常に正則性—を同定すること。
• 一般位置にある s ≤ 2n 個の点における ℙⁿ の blown-up に対して Fujita の予想を確立すること。
• 任意の s に対して、係数の上限がある無限個のアーモニック除数族について、Fujita の予想を拡張すること。
• s ≤ 2n の場合に、ネフ性と全生成性、正則性と非常に正則性が同値であることを示すこと。
• 係数不等式を用いた、半正則性および正則性を特徴付ける数値的基準を提供すること。

提案手法

• 一般位置にある点における ℙⁿ の blown-up 上の除数に適用される消失定理を、先行研究 [17] で確立されたものに使用する。
• 交差理論を用いた正則性の数値的基準を適用する：除数 D が正則であるとは、すべての有効な 1-次元サイクル C に対して D·C > 0 であることを意味する。
• 除数 D = dH - ∑mᵢEᵢ が全生成であるための必要十分条件 ∑mᵢ ≤ nd およびすべての i に対して mᵢ ≤ d を、消失定理から導出する。
• s ≤ 2n の場合に、ネフ性と全生成性（正則性と非常に正則性）の同値性を、消失定理と数値的条件を用いて証明する。
• D が mD + K_X に対して必要な正則性を満たすための十分条件として、∑mᵢ ≤ nd を用いる。
• X_s の Mori の曲線錐とネフ錐の構造に依存し、s ≤ 2n の場合にネフ錐が2点を通る直線と例外的除数内の直線の類によって生成されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般位置にある s ≤ 2n 個の点における ℙⁿ の blown-up において、除数がいつ全生成であり、いつ非常に正則であるか？
• RQ2 一般位置にある s ≤ 2n 個の点における ℙⁿ の blown-up に対して、Fujita の予想は成立するか？
• RQ3 任意の s に対して、係数の上限がある無限個のアーモニック除数族について、Fujita の予想を拡張できるか？
• RQ4 係数 mᵢ と d に対してどのような条件下で、除数 D = dH - ∑mᵢEᵢ が半正則または正則であるか？
• RQ5 一般位置にある点における ℙⁿ の blown-up に対して、係数不等式を用いたネフ性および正則性を特徴付ける数値的基準は存在するか？

主な発見

• s ≤ 2n の場合、N¹(X_s)ℝ 内の半正則除数の錐は、不等式 ∑mᵢ ≤ nd およびすべての i に対して mᵢ ≤ d によって特徴付けられる。
• s ≤ 2n の場合、N¹(X_s)ℝ 内の正則除数の錐は、厳密な不等式 ∑mᵢ < nd およびすべての i に対して mᵢ < d によって特徴付けられる。
• Fujita の予想は、一般位置にある s ≤ 2n 個の点における ℙⁿ の blown-up に対して成立する：m ≥ n+1 のとき mD + K_X は全生成であり、m ≥ n+2 のとき非常に正則である。
• 任意の s に対して、∑mᵢ ≤ nd を満たす除数に対して Fujita の予想は成立する：m ≥ n+1 のとき mD + K_X は全生成であり、m ≥ n+2 のとき非常に正則である。
• s ≤ 2n の場合、ネフ性は全生成性と同値であり、正則性は非常に正則性と同値である。
• s ≤ 2ⁿ の場合、X_s の曲線の Mori 錐は、2点を通る直線と例外的除数内の直線の類によって生成される。