[論文レビュー] Positivity of heights of codimension 2 cycles over function field of characteristic 0

Shou-Wu Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2010

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特徴量 0 の関数体上での、ホモロジカルに自明な codimension 2 サイクルの高さ対のホッジ指数予想を、古典的ホッジ指数定理を用いて証明する。このサイクルの自己交差は非負であり、等号が成り立つのはそのサイクルが水平な除集合のファイバーと数的に同値である場合に限ることを示し、ボゴモロフ予想およびファルツィングス高さの上限に関する先行研究における重要な技術的要因を解消する。

ABSTRACT

In this note, we show how the classical Hodge index theorem implies the Hodge index conjecture of Beilinson for height pairing of homologically trivial codimension two cycles over function field of characteristic 0. Such an index conjecture has been used in our paper on Gross-Schoen cycles to deduce the Bogomolov conjecture and a lower bound for Hodge class (or Faltings height) from some conjectures about metrized graphs which have just been recently proved by Zubeyir Cinkir.

研究の動機と目的

• 特徴量 0 の関数体上での、ホモロジカルに自明な codimension 2 サイクルの高さ対のホッジ指数予想を確立すること。
• このようなサイクルの高さ対の非負性を証明し、先行研究におけるギャップを埋めること。
• 高さ対の等号が成り立つのは、サイクルが水平な除集合のファイバーと数的に同値である場合に限ることを示すこと。
• ネロン–ターテの高さ対とネロンモデル上の普遍ピオンカーレ・バンドルを用いて、次数 0 のラインバンドルのピカール関手上での高さ関数が消えることを示すこと。
• ホッジ指数予想が codimension 2 サイクルに対して成り立つものと仮定すれば、結果を正の特徴量へ拡張すること。

提案手法

• k = ℂ と仮定し、Lefschetzの原則を用いて、全空間 X 上での古典的ホッジ指数定理に問題を還元する。
• コホホロジー上で (z − u) · c₁(ℒ)ⁿ⁻³ が消える有理数係数の水平除集合 U を構成する。
• ネロン–ターテ高さ対とネロンモデル上の普遍ピオンカーレバンドルを用いて、Pic(Xₖ) 上の関数 ℓ が Pic⁰(Xₖ) 上で消えることを示す。
• ネロンモデルの普遍性を適用して、アーベル–ジャコビ写像とピオンカーレバンドルを全空間へ拡張する。
• ハード・リーマンの定理と除集合に関するホッジ予想を用いて、1次サイクル類 Wₖ を有理数係数の除集合類 Uₖ へ上げる。
• 関数 ℓ(ℳ) = z · c₁(ℒ)ⁿ⁻³ · c₁(ℳ) が Pic(X) 全体で恒等的に消えることを示し、すべての ℳ に対して (z − u) · c₁(ℒ)ⁿ⁻³ · c₁(ℳ) = 0 が成り立つことを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴量 0 の関数体上での、codimension 2 サイクルの高さ対に関するホッジ指数予想は成り立つか？
• RQ2 与えられた消える条件のもとで、自己交差 z² · c₁(ℒ)ⁿ⁻⁴ の非負性は示せるか？
• RQ3 自己交差 z² · c₁(ℒ)ⁿ⁻⁴ = 0 が成り立つ条件は何か？
• RQ4 ネロン–ターテ高さ対は、Pic⁰(Xₖ) 上での関数 ℓ の消えることとどのように関係するか？
• RQ5 ホッジ指数予想が codimension 2 サイクルに対して成り立つと仮定すれば、結果を正の特徴量へ拡張できるか？

主な発見

• 2つの消える条件を満たす任意の codimension 2 サイクル z に対して、自己交差 z² · c₁(ℒ)ⁿ⁻⁴ は非負である。
• 自己交差の等号が成り立つのは、z が B の点上の水平除集合 U のファイバー u と数的に同値である場合に限る。
• 関数 ℓ(ℳ) = z · c₁(ℒ)ⁿ⁻³ · c₁(ℳ) が Pic(X) 全体で恒等的に消えるため、すべてのラインバンドル ℳ に対して (z − u) · c₁(ℒ)ⁿ⁻³ · c₁(ℳ) = 0 が成り立つ。
• 関数 ℓ は ℳ の NS(Xₖ)ℚ への像にのみ依存し、有理数係数の 1次サイクル類 Wₖ によって表される。
• 有理数係数の除集合 Uₖ が存在し、Wₖ = Uₖ · c₁(ℒₖ)ⁿ⁻³ modulo Pic⁰(Xₖ) を満たすため、必要な水平除集合 U の構成が可能になる。
• ホッジ指数予想が codimension 2 サイクルに対して成り立つと仮定すれば、結果は正の特徴量へ拡張される。