[論文レビュー] Positivity of Hodge bundles of abelian varieties over some function fields

Xinyi Yuan|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限体の関数体 $K = k(t)$ 上の任意のアーベル多様体が、定数アーベル多様体と、$ℝ^1_k$ 上のネロンモデルのホッジバンドルがアーマーである別のアーベル多様体の積にアイソジェニであることを確立している。この結果は、Tate–Shafarevich群における $p$-捩れ部分群の有限性、完全閉包上での有理点の有限生成性、および $H^1(\mathcal{O})$ が自明な特殊ケースへの曲面のTate予想の還元を意味する。証明は、$ℝ^1_k$ 上の幾何的技法と、新規の商構成に依存している。主な貢献は、アイソジェニーの後でホッジバンドルの正性を確立することであり、正標数における算術的応用を可能にする。

ABSTRACT

The main result of this paper concerns the positivity of the Hodge bundles of abelian varieties over global function fields. As applications, we obtain some partial results on the Tate--Shafarevich group and the Tate conjecture of surfaces over finite fields.

研究の動機と目的

• 正標数における曲線の関数体上でのアーベル多様体に対して、ホッジバンドルの正性を確立すること。
• 任意のアーベル多様体が $K = k(t)$ 上で、定数アーベル多様体と $ℝ^1_k$ 上でホッジバンドルがアーマーである別のアーベル多様体の積にアイソジェニであることを証明すること。
• この結果を用いて、Tate–Shafarevich群における $p$-捩れ部分群の有限性および $A(K^{\rm per})$ の有限生成性を示すこと。
• 有限体上のすべての射影的で滑らかな曲面のTate予想を、$H^1(\mathcal{O}_X) = 0$ である特殊ケースに還元すること。
• BSD予想とTate予想を結びつけるために、$H^1(\mathcal{O})$ が自明な曲面を構成する幾何的技法を提供すること。

提案手法

• Rösslerの研究にインspiredされ、$p$-可除群の商構成を用いてホッジバンドルの非アーマー部分を分離する。
• Birkhoff–Grothendieckの定理を用いて $ℝ^1_k$ 上のベクトル束を分解し、アーマー性を分解における最小次数の正性に還元する。
• 双対アーベル多様体 $A^\vee$ の $ℝ^1_k$ 上の射影的で正則なモデル $ℝ$ を構成し、コhomological性質を解析する。
• Lerayのスペクトル系列を適用し、$R^1\psi_*\mathcal{O}_\mathcal{P}$ の双対のアーマー性を用いて $H^1(\mathcal{P}, \mathcal{O}_\mathcal{P}) = 0$ を示す。
• Poonenのベルティーニ型定理を用いて、$H^1(\mathcal{Y}, \mathcal{O}_\mathcal{Y}) = 0$ かつ一般化されたコホモロジー写像が単射であるような滑らかな曲面 $ℝ \subset \mathcal{P}$ を構成する。
• 有限核を介して $ℝ_\eta$ のヤコビアンを元のアーベル多様体と関係づけ、BSD予想とTate予想の還元を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体 $K = k(t)$ 上のアーベル多様体のホッジバンドルは、アイソジェニーを経てアーマーにできるか？
• RQ2 アーベル多様体が $ℝ^1_k$ 上で半アーベル的還元をもつ場合、Tate–Shafarevich群における $p$-捩れ部分群の有限性は成立するか？
• RQ3 ホッジバンドルのアーマー性は、$K = k(t)$ 上の $A$ に対するMordell–Lang予想を含意するか？
• RQ4 有限体上のすべての射影的で滑らかな曲面のTate予想は、$H^1(\mathcal{O}_X) = 0$ である場合に還元可能か？
• RQ5 正則モデル $ℝ$ に対して $H^1(\mathcal{O}_\mathcal{P}) = 0$ が成り立つための幾何的条件は何か？

主な発見

• 任意のアーベル多様体 $A$ は、$K = k(t)$ 上で $B \times_K C_K$ にアイソジェニであり、ここで $C$ は $k$ 上のアーベル多様体であり、$B$ のホッジバンドルは $ℝ^1_k$ 上でアーマーである。
• 半アーベル的還元をもつアーベル多様体に対して、$A(K^{\rm per})$ は有限生成であり、これは全Mordell–Lang予想の特殊ケースを確認する。
• 半アーベル的還元のもとで、Tate–Shafarevich群の部分群 $ℝ(A)[F^\infty]$（Frobeniusの反復で消える部分）は有限である。
• 有限体上のすべての射影的で滑らかな曲面のTate予想は、$H^1(\mathcal{O}_X) = 0$ である場合の成立に還元される。
• ホッジバンドル $ℝ\overline{\Omega}_A$ は $ℝ^1_k$ 上でネフであり、アイソジェニーによって等質的部品を除去することでアーマー性が成立する。
• Poonenのベルティーニ定理を用いた正の密度での構成により、$H^1(\mathcal{Y}, \mathcal{O}_\mathcal{Y}) = 0$ を満たす滑らかな曲面 $ℝ \subset \mathcal{P}$ の構成が可能であり、これによりコホモロジー的還元が可能になる。