[論文レビュー] Positivity of valuations on convex bodies and invariant valuations by linear actions

Nguyen-Bac Dang, Jian Xiao|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、最適輸送から導かれる幾何的不等式を用いて、滑らかでない連続的で並進不変な凸体上の値関数への畳み込み演算子のノルムに基づく新規拡張を確立し、ミンコフスキーの存在定理の変種の証明と、複素力学系における線形作用と固有空間に関する結果の一般化を可能にする。主な貢献は、波フロント理論に依存せずに、バナッハ空間の完備化を用いて畳み込みを滑らかでない値関数へ拡張する非波フロント理論的アプローチである。

ABSTRACT

In this paper, we endow the space of continuous translation invariant valuation on convex sets generated by mixed volumes coupled with a suitable Radon measure on tuples of convex bodies with two appropriate norms. This enables us to construct a continuous extension of the convolution operator on smooth valuations to non-smooth valuations, which are in the completion of the spaces of valuations with respect to these norms. The novelty of our approach lies in the fact that our proof does not rely on the general theory of wave fronts, but on geometric inequalities deduced from optimal transport methods. We apply this result to prove a variant of Minkowski's existence theorem, and generalize a theorem of Favre-Wulcan and Lin in complex dynamics over toric varieties by studying the linear actions on the Banach spaces of valuations and by studying their corresponding eigenspaces.

研究の動機と目的

• 滑らかな凸体上の連続的で並進不変な値関数から、滑らかでない連続的で並進不変な値関数へ畳み込み演算子を拡張すること。
• 値関数空間の新しいノルム完備化を用いて、混合体積に関してミンコフスキーの存在定理の変種を確立すること。
• ファーブ＝ウルカンおよびリンの複素力学系における結果を、値関数空間上の線形作用とその不変固有空間を分析することによって一般化すること。
• 波フロント理論に依存せずに、線形作用における値関数の正性と不変性を研究するための枠組みを構築すること。
• 幾何的不等式を用いて、$\pi$-正値関数の錐のノルム位相における閉包を特徴付けること。

提案手法

• 混合体積とラドン測度によって生成される値関数空間に、二つのノルム$||\cdot||_{\mathcal{P}}$および$||\cdot||_{\mathcal{C}}$を導入する。
• 畳み込み演算子を滑らかでない値関数へ拡張するため、バナッハ空間の完備化$\mathcal{V}^{\mathcal{P}}$および$\mathcal{V}^{\mathcal{C}}$を構成する。
• 最適輸送理論から導かれる質量輸送推定を用いて、波フロント解析に代わる幾何的不等式を確立する。
• ディスカン卜の不等式と逐次コンパクト性を用いて、$\mathcal{P}$-正値関数の錐$\mathcal{P}_{n-1}$の弱閉包がノルム閉包と一致することを証明する。
• $\mathrm{GL}(E)$の値関数空間への作用を、スペクトル性質と固有空間を分析することによって調べる。特に、力学的次数と関連して考察する。
• ホッジ理論的および双線形形式の議論を用いて、複素力学系の文脈で不変クラスの極値性と一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 波フロント理論に依存せずに、滑らかな値関数上の畳み込み演算子を滑らかでない連続的で並進不変な値関数へ連続的に拡張することは可能か？
• RQ2 $\mathcal{P}$-正値関数の錐のノルム位相における閉包の構造は何か？また、混合体積とはどのように関係するか？
• RQ3 新しい値関数空間のノルム完備化を用いて、ミンコフスキーの存在定理の変種をどのように証明できるか？
• RQ4 凸体上の線形作用の力学的次数と、関連する値関数空間上の線形作用素の固有値の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 トーリック多様体の効果的錐における不変クラスが極値的または一意的であるための条件は何か？

主な発見

• 波フロント解析の代わりに最適輸送不等式を用いることで、ノルム$||\cdot||_{\mathcal{P}}$の下での値関数空間の完備化$\mathcal{V}^{\mathcal{P}}$への畳み込み演算子の連続的拡張が可能である。
• $\mathcal{P}$-正値関数の錐$\mathcal{P}_{n-1}$の弱閉包がノルム閉包と一致することを示し、これは$\mathcal{P}_{n-1}$値の列の任意の弱極限が自身$\mathcal{P}_{n-1}$に属することを意味する。
• ミンコフスキーの存在定理の変種が証明され、$\mathcal{V}^{\mathcal{P}}$における混合体積方程式の解の存在とコンパクト性が示された。
• 値関数空間上の線形作用に対して、誘導された作用素のスペクトル半径が作用の力学的次数と関係していることが示された。
• トーリック多様体上の複素力学系において、$d_1^2 > d_2$ならば、効果的錐内の不変$(1,1)$-クラスはスケーリングを除き一意的であり、極値線の上にある。
• $\overline{\mathcal{P}}_1$に属する二つの不変クラス$\Theta_1, \Theta_2$の積が$\omega^{n-2}$と収縮するとゼロになることから、交差形式の退化が生じ、ホッジ＝リーマン関係式を用いて極値性と一意性が導かれる。