[論文レビュー] Positivity-preserving and entropy-bounded discontinuous Galerkin method for the chemically reacting, compressible Euler equations. Part II: The multidimensional case

Eric J. Ching, Ryan F. Johnson+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2022

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、密度、圧力、および種濃度の正値性に加え、エントロピーの下限値を保証する線形スケーリングのリミッタを用いて、化学反応を伴う圧縮流体に対する高次元、多次元の不連続ガラーキン法を提示する。この手法は、質量、全エネルギー、原子種の離散的保存則を維持し、曲がった要素間で圧力平衡を保つとともに、粗いメッシュ上での高次多項式を用いた2次元および3次元の複雑なクーリング波の安定的かつ高精度なシミュレーションを可能にする。エントロピーの下限値制約が、正値性のみでは不十分である場合に安定性を確保するために不可欠であることが示された。

ABSTRACT

In this second part of our two-part paper, we extend to multiple spatial dimensions the one-dimensional, fully conservative, positivity-preserving, and entropy-bounded discontinuous Galerkin scheme developed in the first part for the chemically reacting Euler equations. Our primary objective is to enable robust and accurate solutions to complex reacting-flow problems using the high-order discontinuous Galerkin method without requiring extremely high resolution. Variable thermodynamics and detailed chemistry are considered. Our multidimensional framework can be regarded as a further generalization of similar positivity-preserving and/or entropy-bounded discontinuous Galerkin schemes in the literature. In particular, the proposed formulation is compatible with curved elements of arbitrary shape, a variety of numerical flux functions, general quadrature rules with positive weights, and mixtures of thermally perfect gases. Preservation of pressure equilibrium between adjacent elements, especially crucial in simulations of multicomponent flows, is discussed. Complex detonation waves in two and three dimensions are accurately computed using high-order polynomials. Enforcement of an entropy bound, as opposed to solely the positivity property, is found to significantly improve stability. Mass, total energy, and atomic elements are shown to be discretely conserved.

研究の動機と目的

• 1次元の正値性を保証するおよびエントロピー下限値制約付きDGスキームを、化学反応を伴う流れの多次元に拡張すること。
• 過剰な解像度を必要とせずに、比較的粗いメッシュ上でも、複雑な反応性流れの安定的かつ高次のシミュレーションを可能にすること。
• 特に物質的界面を越えて、多次元の曲がったメッシュ設定下で、要素間の圧力平衡を維持すること。
• 詳細な化学反応および熱力学モデルを伴う状況下でも、質量、全エネルギー、および原子種の離散的保存則を維持すること。
• 反応ステップ中に非線形ソルバーの安定性を高める要因として、エントロピー下限値制約の重要性を実証すること、特に粗いメッシュのクーリング波シミュレーションにおいて。

提案手法

• 任意形状の高次幾何近似を用いて、完全に保存則を満たすDG式を多次元および曲がった要素に拡張する。
• 線形スケーリングのリミッタにより、非負の種濃度、正の密度、正の圧力、および特定の熱力学的エントロピーの下限値を強制する。
• 正の重みを持つ一般のガウス則、任意の数値フラックス関数、および熱的に完全気体の混合物と互換性を持つ。
• 熱力学的状態の一貫した評価とノード基底の選択により、圧力平衡が保たれ、1次元での先行研究を拡張する。
• エントロピーおよび正値性制約では除去できない小スケール不安定性を抑えるために、人工的粘性を適用する。
• 反応ステップには、剛性のある化学源項を扱うための対角ノルムの和分ごとに分離するDG式を用いるオペレータ分割法を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多次元DG法は、化学反応を伴う流れにおいて、密度、圧力、および種濃度の正値性に加え、エントロピーの下限値を保証しつつ、維持可能か？
• RQ2 任意の幾何近似次数を持つ曲がった多次元要素間で、どのようにして圧力平衡を維持できるか？
• RQ3 高次反応流シミュレーションにおける非線形ソルバーの安定性および収束性に、エントロピー下限値制約と正値性のみの違いが及える影響は何か？
• RQ4 本手法を用いて、高次多項式を用いた比較的粗いメッシュ上でも、安定的かつ高精度なクーリング波シミュレーションを達成できるか？
• RQ5 既存の正値性を保証するか、エントロピー下限値制約付きDGスキームと比較して、本手法の柔軟性および安定性はどのように向上しているか？

主な発見

• 提案手法は、複数の多項式次数にわたり、2次元の熱的バブルの移流テストケースにおいて、曲がった要素間で圧力および速度平衡を安定的に維持した。
• 2次元および3次元のクーリング波シミュレーションにおいて、本手法は多項式次数p=2の粗いメッシュ上でも安定的かつ高精度な解を得たが、先行手法では線形多項式と非常に細かいメッシュを必要としていた。
• エントロピー下限値制約の適用が、ソルバー収束に不可欠であることが判明した。この制約がなければ、大きな温度低下が生じ、非線形ソルバーが停止または著しく遅延した。
• 滑らかな流れ、例えば熱的バブルの移流において、最適な高次収束性を示し、手法の正確性を確認した。
• すべてのテストケースにおいて、質量、全エネルギー、および原子種が機械精度まで保存された。これは、スキームの離散的保存則の性質を裏付けた。
• 3次元のクーリング波シミュレーションでは、対称的かつ同期的な長方形モード構造が得られ、三重点線の衝突や打撃波の正確な予測が可能であった。物理的妥当性が確認された。