[論文レビュー] Positivity-preserving, energy stable numerical schemes for the Cahn-Hilliard equation with logarithmic potential

Wenbin Chen, Cheng Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2017

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 32被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、対数型 Flory-Huggins ポテンシャルを伴う Cahn-Hilliard 方程式に対する一次および二次の有限差分スキームを提示し、正値保存性と無条件エネルギー安定性を両立する。これらのスキームは非線形対数項および表面拡散項を陰的に取り扱い、対数ポテンシャルの特異性を活用して、位相反 variables が ±1 に達することを防ぎ、時間刻み長に制限のない well-posedness と最適収束速度を保証する。

ABSTRACT

We present and analyze finite difference numerical schemes for the Allen Cahn/Cahn-Hilliard equation with a logarithmic Flory Huggins energy potential. Both the first order and second order accurate temporal algorithms are considered. In the first order scheme, we treat the nonlinear logarithmic terms and the surface diffusion term implicitly, and update the linear expansive term and the mobility explicitly. We provide a theoretical justification that, this numerical algorithm has a unique solution such that the positivity is always preserved for the logarithmic arguments. In particular, our analysis reveals a subtle fact: the singular nature of the logarithmic term around the values of $-1$ and 1 prevents the numerical solution reaching these singular values, so that the numerical scheme is always well-defined as long as the numerical solution stays similarly bounded at the previous time step. Furthermore, an unconditional energy stability of the numerical scheme is derived, without any restriction for the time step size. The unique solvability and the positivity-preserving property for the second order scheme are proved using similar ideas, in which the singular nature of the logarithmic term plays an essential role. For both the first and second order accurate schemes, we are able to derive an optimal rate convergence analysis, which gives the full order error estimate. The case with a non-constant mobility is analyzed as well. We also describe a practical and efficient multigrid solver for the proposed numerical schemes, and present some numerical results, which demonstrate the robustness of the numerical schemes.

研究の動機と目的

• 対数型 Flory-Huggins エネルギー ポテンシャルを伴う Cahn-Hilliard 方程式に対する、位相反 variables の物理的正値性を保証するロバストな数値スキームの開発。
• 時間刻み長に制限のない、一次および二次の時間スキームに対する無条件エネルギー安定性の確立。
• φ=±1 近傍における対数ポテンシャルの特異性を活用して、一意解の存在と正値保存性を証明。
• 両スキームについて、ℓ∞(0,T;H⁻¹ₕ) ∩ ℓ²(0,T;H¹ₕ) 範囲における最適収束速度の導出。
• 効率的な multigrid スolver の設計と、数値実験によるスキームの検証。

提案手法

• 一次時間離散化を用い、対数項および表面拡散項を陰的に取り扱い、拡散項と移動度項については陽的に更新する。
• 二次の BDF 時間スキームを採用し、拡散項に対して二階の Adams-Bashforth 外挿法を適用し、安定性を向上させるために人工的な Douglas-Dupont 正則化項を追加する。
• 周期的境界条件を満たす一様な直交グリッド上での有限差分空間離散化を実施する。
• φ=±1 近傍における ln(1±φ) の特異性を活用して、数値解がこれらの値に達することを防ぎ、対数の引数が定義可能であることを保証する。
• 凸-凹分解技術と離散エネルギー散逸解析を用いてエネルギー安定性を導出する。
• FAS multigrid スolver を採用し、各時間ステップにおける非線形系を効率的に解くために V サイクルのスムージングを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一次の有限差分スキームは、1+φ および 1−φ の正値性を保ちつつ、無条件エネルギー安定性を確保できるか？
• RQ2 対数ポテンシャルの特異的挙動が、数値解が φ=±1 に達することを自然に防ぎ、well-posedness を保証するか？
• RQ3 人工正則化項を備えた二次 BDF スキームは、同様の正値性およびエネルギー安定性特性を達成できるか？
• RQ4 提案スキームの関連離散ノルムにおける最適収束速度は何か？
• RQ5 非線形系を扱う際の multigrid スolver の効率性とロバスト性はいかがなものか？

主な発見

• 一次スキームは、φ=±1 近傍における対数ポテンシャルの特異性のおかげで、無条件エネルギー安定性を達成し、対数の引数の正値性を一意に保証する。
• 人工正則化項を備えた二次 BDF スキームも、同様の特異性を根拠に一意解の存在と正値保存性を維持する。理論的根拠はこれに依拠する。
• 両スキームについて、ℓ∞(0,T;H⁻¹ₕ) ∩ ℓ²(0,T;H¹ₕ) 範囲で O(Δt + h²) の最適収束速度が証明された。
• 数値結果は、ロバスト性と効率性を確認した。BDF2 スキームは優れた精度を示し、multigrid スolver は時間ステップあたり平均 3.5 回の V サイクルを要した。
• すべてのスキームおよびシミュレーションにおいて、最大位相値 φ は 0.9967 未満に保たれ、強い正値保存性が確認された。
• 理論的証明がなくても、後退オイラーなどの完全に陰的なスキームは実際には正値性を保つことが確認された。これは、背後にあるメカニズムがより広範に適用可能である可能性を示唆する。