[論文レビュー] Possibility Semantics

Wesley H. Holliday|arXiv (Cornell University)|May 10, 2024

Semantic Web and Ontologies被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、古典論理およびモーダル論理の意味論を一般化する可能性意味論を導入し、従来の「可能な世界」を偏りのある「可能性」に置き換える。これら可能性は、半順序集合（posets）またはUV空間における正則開集合として表現される。この意味論は、選択公理に依存しない双対性に基づく枠組みを提供し、素性や全性をもたない可能性を扱える。また、古典的・モーダル的・直観主義的論理に対して、より豊かな構成的意味論を提供し、従来の手法における完全性や非構成的性の限界を克服する。

ABSTRACT

In traditional semantics for classical logic and its extensions, such as modal logic, propositions are interpreted as subsets of a set, as in discrete duality, or as clopen sets of a Stone space, as in topological duality. A point in such a set can be viewed as a "possible world," with the key property of a world being primeness--a world makes a disjunction true only if it makes one of the disjuncts true--which classically implies totality--for each proposition, a world either makes the proposition true or makes its negation true. This chapter surveys a more general approach to logical semantics, known as possibility semantics, which replaces possible worlds with possibly partial "possibilities." In classical possibility semantics, propositions are interpreted as regular open sets of a poset, as in set-theoretic forcing, or as compact regular open sets of an upper Vietoris space, as in the recent theory of "choice-free Stone duality." The elements of these sets, viewed as possibilities, may be partial in the sense of making a disjunction true without settling which disjunct is true. We explain how possibilities may be used in semantics for classical logic and modal logics and generalized to semantics for intuitionistic logics. The goals are to overcome or deepen incompleteness results for traditional semantics, to avoid the nonconstructivity of traditional semantics, and to provide richer structures for the interpretation of new languages.

研究の動機と目的

• 従来の可能な世界意味論における選択公理への非構成的依存を是正すること、特に素性フィルターと原子の構成において。
• 古典的およびモーダル論理の意味論を一般化し、全かつ素性のある可能な世界の代わりに、部分的で再細分化可能な「可能性」を導入すること。これらの可能性は、論理的選言や真理値を決定しなくてもよい。
• 半順序集合および上ビエトリス空間（UV空間）における正則開集合を用いて、一元的で双対性に基づく論理的意味論の枠組みを提供すること。これにより、新たな論理言語のためのより豊かな構造を可能にする。
• 直観主義的および問い立て的論理（inquisitive logic）へこのアプローチを拡張し、非分配的かつ非古典的推論をサポートする意味論を提供すること。
• 標準的意味論が失敗する状況（例：証明論的論理）においても、第一階およびモーダル論理の完全性結果をこの新しい意味論で確立すること。

提案手法

• 命題を可能性の半順序集合における正則開集合として表現し、順序関係 $\sqsubseteq$ が情報の再細分化を符号化する。
• 再細分化に基づく意味論を用いて論理接続詞の真偽を定義する：可能性 $x$ が $\neg\varphi$ を満たすとは、$x$ のいかなる再細分化に対しても $\varphi$ が満たされないとき。$x$ が $\varphi \vee \psi$ を満たすとは、$x$ のいかなる再細分化に対しても、さらにその再細分化で $\varphi$ または $\psi$ のいずれかが満たされるようなものが存在するとき。
• 完全ブール代数と上ビエトリス空間（UV空間）の間の双対性を用いて、コンパクトで正則な開集合を命題としてモデル化し、選択公理を回避した構成を可能にする。
• アクセスビリティゲーム $\mathrm{G}(S,\sqsubseteq,R,x,y)$ を導入し、モーダルなアクセスビリティ関係を特徴付ける。勝利条件は可能性の整合性または再細分化に基づく。
• 強可能性フレームを $\boldsymbol{R\Leftrightarrow\text{win}}$ 条件によって定義する。これは、$xRy$ が成り立つことと、ゲーム $\underline{\mathrm{G}}(S,\sqsubseteq,R,x,y)$ においてプレイヤーEが勝利戦略を持つことが同値であることを保証する。
• 完全な $\mathcal{V}$-BAO と全フレームおよび主フレームの間の双対同値を確立し、可能性意味論を正規拡大およびマクネイル完備化と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 選択公理に依存しない古典論理の意味論を、素性フィルターと原子の代わりに部分的で再細分化可能な可能性を用いて構築できるか？
• RQ2 可能性が全かつ素でなくてもよいという意味論において、選言と否定をどのように再解釈できるか？
• RQ3 再細分化順序 $\sqsubseteq$ は、非古典的かつ部分的な文脈における論理接続詞の真偽条件を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ4 標準的Kripke意味論が失敗する状況（特に証明論的論理）において、可能性意味論が第一階およびモーダル論理の完全性結果を提供できるか？
• RQ5 ゲーム理論的アクセスビリティ条件 $\boldsymbol{R\Leftrightarrow\text{win}}$ は、可能性フレームにおける有効なモーダルアクセスビリティ関係をどのように特徴付けるか？

主な発見

• 可能性意味論は、posets や UV空間における部分的で再細分化可能な可能性に置き換えることで、古典的可能な世界を置き換える。これにより、命題が選言の両方を決定せず、真理値も決定せず、素性や全性を回避できる。
• $\boldsymbol{R\Leftrightarrow\text{win}}$ 条件は、強可能性フレームを特徴づけ、モーダルアクセスビリティがちょうどプレイヤーEがゲーム $\underline{\mathrm{G}}$ で勝利戦略を持つことと一致することを保証する。
• 第一階論理の完全性は、可能性意味論において成立する。標準的Kripke意味論が世界の不完全性のために失敗する状況でも成立する。
• 原子や素フィルターの代わりに正則開集合を用いることで、非構成的結果を構成的枠組みで実現し、選択公理への依存を排除する。
• 完全な $\mathcal{V}$-BAO と全フレームおよび主フレームの間の双対同値が確立され、可能性意味論が正規拡大およびマクネイル完備化と結びつく。
• このアプローチは直観主義的および問い立て的論理へ一般化可能であり、非分配的かつ情報駆動型の推論をサポートする意味論を提供する。