[論文レビュー] Possible fluid interpretation and tidal force equation on a generic null hypersurface in Einstein-Cartan theory

Sumit Dey, Bibhas Ranjan Majhi|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2022

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 75被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、アインシュタイン＝カルタン理論における一般の光的超曲面でのハジチェク1形式の力学的進化について、流体的解釈を提案する。ECKS場の方程式を光的表面に射影し、適切な座標系および局所慣性系におけるせん断テンソルのリー微分を分析することで、進化方程式が非対称な応力およびスピン寄与を持つ一般化されたコッサレット流体モデルに類似していることを示している。これは、ねじれを有する時空における重力の流体的類似を提供する。

ABSTRACT

The dynamical evolution of the Hajicek $1$-form is derived in Einstein-Cartan (EC) theory. We find that like Einstein theory of gravity, the evolution equation is related to a projected part of the Einstein tensor $(\hat{G}_{ab})$ on a generic null surface $\mathcal{H}$, particularly $\hat{G}_{ab}l^a q^b_{~c}$, where $l^a$ and $q^a_{~c}$ are the outgoing null generators of $\mathcal{H}$ and the induced metric to a transverse spatial cross-section of $\mathcal{H}$ respectively. Under the {\it geodesic constraint} a possible fluid interpretation of this evolution equation is then proposed. We find that it has the structure which is reminiscent to the {\it Cosserat generalization} of the Navier-Stokes fluid provided we express the dynamical evolution equation of the Hajicek $1$-form in a set of coordinates adapted to $\mathcal{H}$ and in a local inertial frame. An analogous viewpoint can also be built under the motive that the usual material derivative for fluids should be replaced by the Lie derivative. Finally, the tidal force equation in EC theory on the null surface is also derived.

研究の動機と目的

• アインシュタイン＝カルタン理論における重力場方程式が、一般の光的超曲面上で流体的解釈を許容するかどうかを調査すること。
• リーマン＝カルタン時空で非ゼロのねじれを持つ状況下での光的超曲面上の潮汐力方程式を導出すること。
• 射影されたECKS方程式と一般化連続体力学、特にコッサレット流体力学との関係を調査すること。
• 適切な座標系と局所慣性系を用いて、幾何的進化方程式と流体的力学との対応関係を確立すること。
• リー微分が、この流体的類似枠組みにおける標準的物質微分の代替としてどのように機能するかを検討すること。

提案手法

• 一般の光的超曲面 H 上でのハジチェク1形式の力学的進化方程式を、射影されたアインシュタイン＝カルタン＝キッブル＝シュリヤマ（ECKS）場の方程式を用いて導出する。
• 光の生成子 la と横断的空間計量 qab を用いて、ECKSテンソル ˆGab を光的表面に射影し、特に ˆGablaqb c に注目する。
• 変形率テンソル ˆχij を展開、せん断、渦度の部分に完全分解し、対称的かつトレースレスなせん断成分 (l,d)σij を分離する。
• 光的超曲面に適合した座標系およびブーストされた局所慣性系で方程式を表現することで、流体的構造を明らかにする。
• 標準的物質微分の代わりに、光の生成子 l 沿いのリー微分を用いることで、非対称応力およびスピンテンソルへの一般化を達成する。
• リー微分によるせん断テンソルの進化と曲率およびねじれ寄与を等置することで、潮汐力方程式を導出する。最終的に、Weylテンソルおよびねじれ修正リッチ成分を用いて表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アインシュタイン＝カルタン理論における光的超曲面上でのハジチェク1形式の力学的進化は、流体的系として解釈可能か？
• RQ2 アインシュタイン＝カルタン理論における時空のねじれの導入は、一般相対性理論と比較して、流体的類似をどのように変更するか？
• RQ3 非ゼロのねじれを持つリーマン＝カルタン時空における一般の光的超曲面上での潮汐力方程式の形は何か？
• RQ4 光の生成子に沿ったリー微分は、この流体的類似枠組みにおいて物質微分の適切な一般化としてどの程度機能するか？
• RQ5 ねじれおよびスピンを伴う状況下で、射影されたECKS方程式は、コッサレット一般化ナビエ＝ストークス方程式に類似した形に再定式化可能か？

主な発見

• 適切な座標系および局所慣性系で表現されたとき、アインシュタイン＝カルタン理論における光的超曲面上でのせん断テンソル (l,d)σij の進化方程式は、コッサレット一般化ナビエ＝ストークス方程式と構造的に類似している。
• 潮汐力方程式は、リー微分によるせん断テンソルの進化と、曲率およびねじれ寄与を明示的に分離した形で導出され、リーマンテンソルのWeyl成分およびねじれ修正リッチ成分への分解に基づく。
• ねじれの存在により、ス pin 接続およびねじれテンソルからの寄与を含む追加項が進化方程式に現れ、標準的な流体的力学を変更する。
• 方程式 (C.29) は、リー微分が拡張スカラー、せん断、およびねじれ項と明示的に関係づけられ、Weylテンソルおよびねじれ項が最終的な潮汐力方程式 (6.3) に現れる。
• 導出過程から、標準的物質微分が自然に光の生成子 l 沿いのリー微分に置き換えられ、流体的類似における共変性および一貫性を保つために不可欠であることが示された。
• 最終的な潮汐力方程式 (6.3) は、(C.32) のリー微分表現と (C.29) および (C.31) の曲率およびねじれ項を等置することで得られ、Weylテンソルおよびねじれ修正リッチ成分を含む完全に共変な表現となっている。