[論文レビュー] Possible indices for the Galois image of elliptic curves over Q

David Zywina|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Q 上の非CM楕円曲線に対するGL₂(Ẑ)におけるガロア表現の像の有限な指数を分類し、mod ℓ の全射性に関する予想を仮定すると、指数は28個の整数からなる特定の有限集合𝒟に含まれることを示している。予想を仮定すれば、指数は有界であり、j-不変量にのみ依存し、例外的なj-不変量は有限個に限られる。

ABSTRACT

For a non-CM elliptic curve $E$ over the rationals, the Galois action on its torsion points can be expressed in terms of a Galois representation $ρ_E : G o GL_2(\hat{\mathbb{Z}})$, where $G$ is the absolute Galois group of the rationals. A well-known theorem of Serre says that the image of $ρ_E$ is open and hence has finite index in $GL_2(\hat{\mathbb{Z}})$. We will study what indices are possible assuming that we are willing to exclude a finite number of possible $j$-invariants from consideration. For example, we will show that there is a finite set $J$ of rational numbers such that if $E/\mathbb{Q}$ is a non-CM elliptic curve with $j$-invariant not in $ J$ and with surjective mod $\ell$ representations for all $\ell >37$ (which conjecturally always holds), then the index $[GL_2(\hat{\mathbb{Z}}) : ρ_E(G)]$ lies in the set \[ I:= \left\{\begin{array}{c}2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 24, 30, 32, 36, 40, 48, 54, 60, 72, 84, 96, 108, 112,120, 144, \\192, 220, 240, 288, 336, 360, 384, 504, 576, 768, 864, 1152, 1200, 1296, 1536 \end{array} ight\}. \] Moreover, $I$ is the minimal set with this property.

研究の動機と目的

• Q 上の非CM楕円曲線Eについて、[GL₂(Ẑ) : ρ_E(Gal_ℚ)] の有限な指数の集合を特定すること。
• 最小の有限集合から外れる例外的な指数を与えるj-不変量を同定すること。
• mod ℓ 全射性に関する予想のもとで、指数がEのj-不変量にのみ依存することを示すこと。
• 指数集合の最小性を示すために、𝒟に属する指数のみが無限に多く現れることを証明すること。

提案手法

• Serreの開画像定理を用いて、ガロア表現ρ_E : Gal_ℚ → GL₂(Ẑ) の像を分析する。
• すべての素数ℓ > 37に対してρ_E,ℓが全射であるという予想を適用し、これが像が開であり、有限指数をもつことを示す。
• 指数の分類を、合同部分群およびガロア像群に付随するモジュラー曲線X_G(N)の研究に還元する。
• 種数≥2の曲線の有理点に関するFaltingsの定理を用いて、例外的なj-不変量の有限性を示す。
• ℓが大きい場合のp進的場所における局所的解析とTate曲線理論を用いて、mod ℓ 全射性を証明する。
• 密度論的議論とスパarsely set理論を用いて、与えられた指数を持つj-不変量の集合が無限であるための必要十分条件が、指数が集合𝒟に属することであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Q 上の非CM楕円曲線に対して、torsion点上のガロア表現の像の可能な有限指数は何か？
• RQ2 すべてのQ 上の非CM楕円曲線に対して、[GL₂(Ẑ) : ρ_E(Gal_ℚ)] の指数は一様に有界か？
• RQ3 どのj-不変量が最小の有限集合から外れる指数を与えるか。また、そのような例外的なj-不変量はいくつ存在するか？
• RQ4 あるj-不変量に対して無限に多く現れる指数の集合は、ちょうど𝒟 = {2,4,6,...,1536} に一致するか？
• RQ5 ℓ > 37 に対してmod ℓ 全射性が成り立つと仮定したとき、指数はEのj-不変量のみから決定可能か？

主な発見

• すべてのQ 上の非CM楕円曲線Eについて、j-不変量が有限例外集合Jに属さない限り、指数[GL₂(Ẑ) : ρ_E(Gal_ℚ)] は有限集合𝒟 = {2,4,6,8,10,12,16,20,24,30,32,36,40,48,54,60,72,84,96,108,112,120,144,192,220,240,288,336,360,384,504,576,768,864,1152,1200,1296,1536} に属する。
• 集合𝒟は最小である：𝒟に属さない任意の指数nに対して、[GL₂(Ẑ) : ρ_E(Gal_ℚ)] = n を満たすj-不変量j_Eの集合は有限である。
• 𝒟に属する指数nに対して、その指数を持つj-不変量j_Eの集合は無限である。これは𝒟が無限に多く現れる可能性のあるすべての指数を捉えていることを示している。
• 例外集合Jには少なくとも13個のCM j-不変量に加え、−7·11³ や −7·137³·2083³ のような非CM j-不変量が含まれており、これらは指数≥2736を与える。
• ρ_E,ℓ がすべての素数ℓ > 37 に対して全射である限り、指数はj_Eに完全に依存する。
• 集合𝒟の構成にはFaltingsの定理による非効果的評価が使われており、例外集合Jを明示的に計算することは非効果的である。