[論文レビュー] Possible loss and recovery of Gibbsianness during the stochastic evolution of Gibbs measures

Aernout C. D. van Enter, Roberto Fernández+2 more|May 2, 2001

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、Glauberダイナミクス下で初期のギブス測度νから可逆なギブス測度μへと確率的時間発展を示すイジングスピン系の研究を行い、時間発展した測度νS(t)がギブス的および非ギブス的状態の間を遷移できることを示している。驚くべきことに、低温から高温への加熱でさえも、中間時間においてギブス的でなくなる可能性があり、一部の状況では回復することさえある。これは、高温極限が常に滑らかであるという直感に反する。

ABSTRACT

We consider Ising-spin systems starting from an initial Gibbs measure $ν$ and evolving under a spin-flip dynamics towards a reversible Gibbs measure $μ ot=ν$. Both $ν$ and $μ$ are assumed to have a finite-range interaction. We study the Gibbsian character of the measure $νS(t)$ at time $t$ and show the following: (1) For all $ν$ and $μ$, $νS(t)$ is Gibbs for small $t$. (2) If both $ν$ and $μ$ have a high or infinite temperature, then $νS(t)$ is Gibbs for all $t>0$. (3) If $ν$ has a low non-zero temperature and a zero magnetic field and $μ$ has a high or infinite temperature, then $νS(t)$ is Gibbs for small $t$ and non-Gibbs for large $t$. (4) If $ν$ has a low non-zero temperature and a non-zero magnetic field and $μ$ has a high or infinite temperature, then $νS(t)$ is Gibbs for small $t$, non-Gibbs for intermediate $t$, and Gibbs for large $t$. The regime where $μ$ has a low or zero temperature and $t$ is not small remains open. This regime presumably allows for many different scenarios.

研究の動機と目的

• 有限範囲のギブス測度νから出発し、スピン反転ダイナミクスに従って可逆なギブス測度μ ≠ νへと時間発展するνS(t)のギブス的性を分析すること。
• 時間経過に伴いνS(t)がギブス的または非ギブス的になる条件を特定すること、特に低温から高温への急速な加熱（アンクエンチング）領域において。
• 初期状態および最終状態が両方ともギブス的であっても、時間発展中に一時的な非ギブス的性が生じるかどうかを調査すること。
• 磁場および温度領域が条件付き確率の構造と本質的不連続性の存在に与える影響を明らかにすること。

提案手法

• 後向きマルコフ過程のFeller性を用いて、条件付き確率の正則性を通じてνS(t)のギブス的性を特徴づける。
• 文献[9]第4章の基準を適用し、条件付き確率に本質的不連続性を示す「悪い配置」（非ギブス的性の兆候）を同定する。
• 可逆ダイナミクスにおいて、移動核および条件付き期待値の表現を半群S(t)、特に双対半群S*(t)を通じて用いる。
• クエンチド相関の減衰を検討し、非ギブス的領域における弱ギブス的性をKozlovの定理フレームワークで探求する。
• 大偏差および相対エントロピー密度を用いて収束を制御し、測度の時間発展に対する境界を確立する。
• 有限範囲相互作用に対して理論的結果を導出し、高温およびゼロ磁場極限に特に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低温初期状態から高温定常状態へと確率的時間発展する際、時間発展測度νS(t)がギブス的でなくなる条件は何か？
• RQ2 中間時間における非ギブス的状態が、同じダイナミクス下でギブス的に戻ることができるか？非ゼロ磁場がこの回復に果たす役割は何か？
• RQ3 ギブス的から非ギブス的へと移行する過程は鋭いものか？また、交互なスピン配置のような「悪い配置」の出現によって一意に特徴づけられるか？
• RQ4 移行時刻t_iは、初期および最終温度、磁場、およびνとμにおける相互作用範囲にどのように依存するか？
• RQ5 νS(t)がギブス測度でない場合、弱ギブス的性をどの程度確立できるか？また、クエンチド相関の減衰は、このような構成を支援するか？

主な発見

• すべての初期ギブス測度νおよび可逆な高温または無限温度ダイナミクスμに対して、すべての十分小さいt > 0においてνS(t)はギブス的のままである。
• νおよびμが両方とも高温または無限温度にある場合、すべてのt > 0においてνS(t)はギブス的のままである。
• νが低温非ゼロ温度でゼロ磁場、μが高温または無限温度にある場合、大規模なtにおいてνS(t)は非ギブス的になるが、これは滑らかな高温極限に近づくにもかかわらずである。
• νが低温非ゼロ温度で非ゼロ磁場、μが高温または無限温度にある場合、νS(t)は初期にギブス的であり、中間時間では非ギブス的となり、大規模なtで再びギブス的になる。
• 非ギブス的からギブス的へと戻る遷移は、非ゼロ磁場の存在と関連しており、ゼロ磁場の場合には観察されない。
• μが低温またはゼロ温度でtが大きい領域については未解決であり、メタ安定性や相転移を伴う複雑で非ユニバーサルな挙動が予想される。