[論文レビュー] Possibly every real function is continuous on a non--meagre set

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 1995

Advanced Topology and Set Theory参考文献 1被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、ZFCが、すべての実関数が非劣化集合上で連続であるという命題と整合的であることを確立し、Fremlinが提起した問いを解決する。強制法と集合論的構成を用いて、Shelahは、標準的集合論と整合的である限り、すべての実関数が第二類集合上で連続である可能性があることを示している。これは解析学における不連続性に関する古典的期待に挑戦する。

ABSTRACT

We prove consistency of the following sentence: ``ZFC + every real function is continuous on a non-meagre set'', answering a question of Fremlin.

研究の動機と目的

• 実関数が実数の非劣化（第二類）部分集合上で連続であるという命題の一貫性を調査すること。
• 関数における連続性の広がりに関連する、実解析と集合論の基礎的問いに取り組むこと。
• ZFCのもとで、すべてのRからRへの関数が非劣化集合上で連続であることが一貫的であることを示すこと。
• 異なる集合論的仮定の下での位相、測度論、および実数直線の構造との間の相互作用の理解を拡張すること。

提案手法

• すべての実関数が非劣化集合上で連続であるようなZFCのモデルを構成するために強制法の技法を用いる。
• Lévyの崩壊の変種を用いて、大きな基数の性質を保存しつつ、望ましい連続性の性質を保証する。
• Baireのカテゴリ一様定理が成り立ち、すべての関数が第二類集合上で連続であるような強制拡張を構成する。
• 強制拡張における劣化集合と非劣化集合の構造を分析し、すべての関数に対して非劣化連続集合が存在することを保証する。
• 組合せ的集合論を適用して、残渣集合における関数の振る舞いを制御する。
• 慎重な強制反復と一般性の議論を通じて、結果のモデルがZFCおよび望ましい連続性の命題を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ZFCのもとで、R上のすべての実関数が非劣化集合上で連続であることは一貫的か？
• RQ2 Baireのカテゴリ性質を用いて、すべての関数が第二類部分集合上で連続になるように強制できるか？
• RQ3 どのような集合論的仮定が、非劣化集合上で普遍的な連続性を可能にするか？
• RQ4 強制法は、任意の実関数の連続集合の構造にどのように影響するか？
• RQ5 古典的な「至る所で不連続な関数」の病理的性質は、一貫的なZFCモデルでは回避可能か？

主な発見

• この論文は、強制法の技法を用いて、ZFC + 'すべての実関数が非劣化集合上で連続' が一貫的であることを証明している。
• この命題がZFC内で反証可能でないことが確立され、Fremlinが当初提起した問いが解決された。
• 構成により、結果のモデルにおいて、すべての関数 f: R → R が第二類集合上で連続であることが保証される。
• すべての関数に対して非劣化連続集合が存在することは、標準的集合論と両立可能であることが示された。
• モデルはZFCを保存し、Baireのカテゴリ一様定理を満たしており、連続集合の非劣化性が保証される。
• 証明は、すべての関数における連続集合のカテゴリを制御する、巧みな設計された強制反復に依拠している。